Bevis: Visa att om potensserien konvergerar/divigerar

Detta är en tentafråga så var kritiska mot min bevisning osv.. ^^

Definitionen: 

Funktionsföljen:

i) punktvis i intervallet I så att f-funktionen $f_k(x) -> f(x) \all x \in I$ 
ii) likformigt: $$sup|f_k(x) - f(x)| -> 0$$ i intervallet.

Funktionsserie
i) punktvis: om $S_n(x) -> S_n \all x \in I$
ii) likformigt: om $S_n -> S$

 För potensserien $$\sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k gäller ett av följande påståenden:
1.

(i) Serien konvergerar enbart för $x = 0$ .

(ii) Det finns ett tal $R > 0$  sådant att serien konvergerar absolut och likformigt för alla $|x| <>$ och divergerar för alla $|x| > R$.

(iii) Serien konvergerar absolut och likformigt för alla $x$ .

2. med konvergensradien $R$ sätter man i fallet (i) till R=0 och i (iii) R = ∞.

Bevis: Tror jag faktiskst kopierar och klistrar in. haha! Har skrivkramp XD