Bevis summering av primtal
Hej!! Jag fastnar i försöket att visa detta (och har tyvärr inte boken med facit utan endast några uppgifter):
”Ali provar att summera två på varandra följande primtal större än 2. Alla summeringar resulterat i ett sammansatt tal som i sin tur består av 3 primtalsfaktorer. Visa honom att summan av två på varandra följande primtal alltid kan skrivas som en produkt av minst 3 primtalsfaktorer.”
Jag har först gjort ett litet test och den minsta summan blir ju
3+5=8 som har primtalsfaktorerna 2•2•2=8 , alla efterföljande har minst 3 primtalsfaktorer som uppgiften föreslår. Logiskt eftersom att alla primtal är udda (undantag för 2) och addition av två udda tal alltid blir ett jämnt tal. Jag tänker att det är relevant?
Men HUR kan jag visa detta matematiskt? Det är ju olika ”steg” mellan primtalen, ibland 2 steg ibland fler. Alltså förstår jag inte hur det ska kunna formuleras/visas… väldigt tacksam för hjälp!
Ja, jämnheten är relevant.
Primtal större än 2 är alltid udda. Summan av två udda tal är alltid jämt
(2n + 1) + (2m + 1) = 2(n + m + 1)
Därmed är summan av två primtal p och q (större än 2) alltid ett jämt tal
p + q = 2n
Från detta kan man 'förenkla' det till att försöka visa att det där talet n inte kan vara ett primtal. En ekvivalent formulering är alltså att
Visa att om p och q är på varandra följande primtal, och n är ett tal sådant att
p + q = 2n
så följer det att n inte kan vara ett primtal.
Om vi kallar våra 2 på varandra primtal för p och q där p<q så vet vi att:
1. p<q
2. p+q=2n (dvs p+q är ett jämnt tal)
2. ger att n=(p+q)/2
Det betyder att n är (mitt) mellan p och q. p<n<q
Vi vet inte vad n är men vi vet att det inte är ett primtal eftersom det inte finns några primtal mellan p och q.
Vi kan alltså skriva n=a*b (dvs n är ett komposit tal)
p+q=2n=2ab Alltså minst 3 faktorer.
Q.E.D
Tack så mycket!!! Nu är jag helt med 😀
