Bevis summa formel

Al1. (Derivatatricket på summor). Om man försöker klassificera den där serienså inser man kanske att det nästan är en geometrisk serie

$\sum_{k = 0}^\infty x^k = \frac{1}{1 - x}$ (x = 1/2)

sånär som på att man har (k + 1) framför. 

$\sum_{k = 0}^\infty ( k + 1)x^k$

En infallsivinkel är då att fråga sig om det finns någon manipulation av den vanliga geometriska serien som man kan göra för att producera (k + 1) framför varje term. Det är lite lovande att 

$\frac{d}{dx} \sum_{k = 0}^\infty x^k = \sum_{k = 0}^\infty k x^{k-1}$

men potensen blev då måste man också multiplicera med $x$ för att kompensera för att potensen minskar

$x \frac{d}{dx}\sum_{k = 0}^\infty x^k = \sum_{k = 0}^\infty k x^{k}$

Så

$x \frac{d}{dx}\frac{1}{1 - x} = \sum_{k = 0}^\infty k x^{k}$

Vänsterledet kan man finna ett uttryck för och sedan sätta in x = 1/2

Det finns några mellanrum här då jag visat för k och inte (k + 1) men den här metoden kan anpassas till att finna värdet på det aktuella problemet och alla summor

$\sum_{k = 0}^\infty p(k)x^k$

där p(k) är ett polynom och $|x|<>$

Alt 2. Är förstås som alltid induktion.

SeriousCephalopod skrev:

Al1. (Derivatatricket på summor). Om man försöker klassificera den där serienså inser man kanske att det nästan är en geometrisk serie

$\sum_{k = 0}^\infty x^k = \frac{1}{1 - x}$ (x = 1/2)

Sorry, hur inser man det?

Hur kunde du komma fram till:

$\sum_{k=0}^\infty\frac{k+1}{2^k}$  = $\sum_{k = 0}^\infty x^k = \frac{1}{1 - x}$ (x = 1/2)?

sånär som på att man har (k + 1) framför. 

$\sum_{k = 0}^\infty ( k + 1)x^k$

 

Detta förstår jag inte heller.

Resten är jag med tror jag, om jag bara fattade början.

En geometrisk serie har ju formen:

$\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} x^{k}=\frac{1}{1-x}$ (Likheten med $\displaystyle \frac{1}{1-x}$ gäller enbart ifall $|x| <>$)

Om vi skriver om våran serie så här så är den väldigt lik en geometrisk serie:

$\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k+1}{2^{k}}=\sum_{k=0}^{\infty} (\frac{1}{2})^{k} (k+1)$

Sedan kan man byta ut $\frac{1}{2}$ mot en generell variabel $x$ för att lättare kunna se samband med den geometriska serien:

Man får tillbaka den ursprungliga serien om man sätter in $x=\frac{1}{2}$.

AlvinB skrev:

En geometrisk serie har ju formen:

$\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} x^{k}=\frac{1}{1-x}$ (Likheten med $\displaystyle \frac{1}{1-x}$ gäller enbart ifall $|x| <>$)

 

... ok, jag säger det, det är inte som om jag hade något rykte kvar att försvara:

Jag trodde att den hade formen:  $\frac{a\left(1-k^n\right)}{1-k}$. Är det.. samma sak? *skam* *skam*

dajamanté skrev:

AlvinB skrev:

En geometrisk serie har ju formen:

$\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} x^{k}=\frac{1}{1-x}$ (Likheten med $\displaystyle \frac{1}{1-x}$ gäller enbart ifall $|x| <>$)

 

... ok, jag säger det, det är inte som om jag hade något rykte kvar att försvara:

Jag trodde att den hade formen:  $\frac{a\left(1-k^n\right)}{1-k}$. Är det.. samma sak? *skam* *skam*

 Det stämmer, men vad blir formeln om $a = 1$ och vad blir:

$\lim_{n\to \infty} k^n$ om $|k|$ ?

... det blir typ:

$\;\frac{1-(\frac12)^2}{1-\frac12}?$

(Om vi säger nu att $a=\frac12$)

Vi menar lite mer generellt. Det du skrivit är formeln för en ändlig geometrisk summa (upp till $n$). Det vi menar är en oändlig geometrisk summa:

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a(1-k^{n})}{1-k}=\frac{a}{1-k}$

Om man sedan sätter $a=1$ får man formeln vi pratade om tidigare:

$\displaystyle \frac{1}{1-k}$

Konstigt, missade detta svar!

Ok, så nu förstår jag den här biten, och det är bara att gå upp i tråden :)..