4 svar
102 visningar
Aedrha behöver inte mer hjälp
Aedrha 96
Postad: 7 sep 2022 09:44

Bevis rörande en hel funktion i C.

Hej. Jag sitter med en bevisuppgift i komplex analys:
"Anta att f är en hel funktion, dvs. att f är holomorf på hela . Visa att funktionen

g(z)=f(z¯)¯

också är en hel funktion."

Jag tänkte så här:

Först så vet jag att för f är Cauchy-Riemanns ekvationer uppfyllda i hela , eftersom funktionen är hel

för f(z):

z=x+iyf(z)=u(z)+i·v(z)gäller då:ux'=vy'uy'=-vx'
Vidare tänkte jag:
z¯=x-iyf(z)¯=u(z)-i·v(z)f(z¯)¯=u(x,-y)-i·v(x,-y)

 

Sen tar det stopp jag vet inte vad jag ska göra här efter.
Finns det någon som kan ge lite vägledning?

D4NIEL 2883
Postad: 7 sep 2022 10:59 Redigerad: 7 sep 2022 11:04

Använd kedjeregeln, u(x,h(y))y=hyuh\displaystyle \frac{\partial u(x,h(y))}{\partial y}=\frac{\partial h}{\partial y} \frac{\partial u}{\partial h} osv.

Aedrha 96
Postad: 7 sep 2022 12:20 Redigerad: 7 sep 2022 13:27

@D4NIEL

Okej.

Gjorde så här:
f(x)=u(x,y)+i·v(x,y)x=e(x), y=b(y),ex=1,by=1u(e(x),b(y))x=ueex=ue=ux'u(e(x),b(y))y=ubby=ub=uy'v(e(x),b(y))x=veex=ve=vx'v(e(x),b(y))y=vbby=vb=vy'g(x,y)=u(x,-y)-i·v(x,-y)x=e(x),- y=h(y)=-b(y)ex=1,hy=-1u(e(x),h(y))x=ueex=ue=ux'u(e(x),h(y))y=uhhy=uh=-ub=-uy'-v(e(x),h(y))x=veex=ve=-vx'-v(e(x),h(y))y=-vhhy=--vb=vy'
Vet inte om det är rätt eller om det är rätt vad det skulle visa.

Tomten 1827
Postad: 7 sep 2022 12:59

En annan idé. Om f är hel så kan den representeras av en och samma potensserie för alla z i planet. Alltså är även z’ representerad av denna potensserie. (använder ’ för att markera konjugat). f(z’) är således också hel. Sedan återstår endast att visa f hel  => f’ hel.

Tomten 1827
Postad: 7 sep 2022 16:18

Detta låter sig göras om man observerar att potensserien ifråga konvergerar absolut på alla kompakta delmängder av C. Det möjliggör att separera real- och imaginärdel av f’ för en sådan separering är ingenting annat än en omordning av potseriens termer, vilket är tillåtet vid absolutkonvergens.

Svara
Close