Bevis rörande en hel funktion i C.
Hej. Jag sitter med en bevisuppgift i komplex analys:
"Anta att f är en hel funktion, dvs. att f är holomorf på hela . Visa att funktionen
också är en hel funktion."
Jag tänkte så här:
Först så vet jag att för f är Cauchy-Riemanns ekvationer uppfyllda i hela , eftersom funktionen är hel
för f(z):
Vidare tänkte jag:
Sen tar det stopp jag vet inte vad jag ska göra här efter.
Finns det någon som kan ge lite vägledning?
Använd kedjeregeln, osv.
@D4NIEL
Okej.
Gjorde så här:
Vet inte om det är rätt eller om det är rätt vad det skulle visa.
En annan idé. Om f är hel så kan den representeras av en och samma potensserie för alla z i planet. Alltså är även z’ representerad av denna potensserie. (använder ’ för att markera konjugat). f(z’) är således också hel. Sedan återstår endast att visa f hel => f’ hel.
Detta låter sig göras om man observerar att potensserien ifråga konvergerar absolut på alla kompakta delmängder av C. Det möjliggör att separera real- och imaginärdel av f’ för en sådan separering är ingenting annat än en omordning av potseriens termer, vilket är tillåtet vid absolutkonvergens.