Bevis potenslag

Upg:

Bevisa formlerna $x^{p} x^{q} = x^{p + q}, \frac{x^{p}}{x^{q}} = x^{p - q}$ och $x^{p} y^{p} = {(x y)}^{p}$ för alla reella tal x, y > 0 och alla heltal p och q.

Jag vet inte riktigt hur jag ska börja. Har en känsla av att alla tre bevisen görs på liknande vis och det borde räcka med om jag får hjälp med en av dem.

Hittade en teknik på nätet för att visa första formeln genom induktans, men då detta inte tas upp i kursen borde det gå att lösa på annat vis tänker jag.

Tänker att första formeln kan inledas med något i stil med $x^{p} = x * x * . . . * x, p g g r$

(och motsvarande för q). Vet dock inte hur jag skulle uttrycka detta i mer korrekt algebraisk form.

Sen, med dem uppställda kan man visa att det blir samma sak om man multiplicerar x med x, p+q gånger.

Förslag?

Gör precis som du gjorde i Ma1.

Induktion är rätt väg att gå om du vill vara stringent. Börja med att visa $x^p \cdot x^q = x^{p+q}$ i fallet då p och q är naturliga tal, d.v.s. heltal större än noll. Vi kan då definiera $x^p$ rekursivt enligt $x^1 = x$ och $x^{p+1} = x^p \cdot x$ för alla positiva heltal p och reella tal x. Notera att det räcker med att använda induktion på antingen p eller q och fixera den andra variabeln som ett godtyckligt positivt heltal

Nästa steg är att visa att satsen gäller för alla heltal p och q (och inte bara positiva heltal). Då måste vi först definiera $x^p$ för negativa heltal p samt då p är noll. Vi definierar $x^p = \frac{1}{x^{-p}}$ då $p < 0$ samt $x^0 = 1$ , för alla positiva reella tal x. Då kan du utnyttja vetskapen att $x^p \cdot x^q = x^{p+q}$ gäller då p och q är positiva samt återigen göra induktionsbevis för att visa $\frac{x^p}{x^q} = x^{p-q}$ .

Smaragdalena skrev:
Gör precis som du gjorde i Ma1.

$x^{p} x^{q} = \underset{p t e r m e r}{\underset{⏟}{x * x * . . . * x}} * \underset{q t e r m e r}{\underset{⏟}{x * x * . . . * x}} = \underset{(p + q) t e r m e r}{\underset{⏟}{x * x * . . . * x}} = x^{p + q}$

$x^{p} y^{p} = \underset{p t e r m e r}{\underset{⏟}{x * x * . . . * x}} * \underset{p t e r m e r}{\underset{⏟}{y * y * . . . * y}} = \underset{p t e r m e r}{\underset{⏟}{x y * x y * . . . * x y}} = {(x y)}^{p}$

Menar du sådär?

Divisionen känns dock inte lika självklar.

$\frac{x^{p}}{x^{q}} = \frac{\overset{p t e r m e r}{\overset{⏞}{x * x * . . . * x}}}{\underset{q t e r m e r}{\underset{⏟}{x * x * . . . * x}}} = \underset{p - q t e r m e r (?)}{\underset{⏟}{\frac{x}{x} * \frac{x}{x} * . . . * \frac{x}{x}}} = x^{p - q}$

Freewheeling skrev:
Induktion är rätt väg att gå om du vill vara stringent. Börja med att visa $x^p \cdot x^q = x^{p+q}$ i fallet då p och q är naturliga tal, d.v.s. heltal större än noll. Vi kan då definiera $x^p$ rekursivt enligt $x^1 = x$ och $x^{p+1} = x^p \cdot x$ för alla positiva heltal p och reella tal x. Notera att det räcker med att använda induktion på antingen p eller q och fixera den andra variabeln som ett godtyckligt positivt heltal

Vad jag förstått av induktion ska man börja med att visa att det stämmer för något tal, förslagsvis 1.

$p = 1 : x^{1} x^{q} = x x^{q} J m f : x^{1 + q}$

Då antal termer för $x$ är samma i båda fallen stämmer kontroll då $p = 1$ och $q$ är konstant. (Ok hittills?)

Induktionen görs då genom att först skriva om $p$ med en annan variabel, t ex $n$ , anta att det stämmer för $p = n$ och sedan visa att det även stämmer då $p = n + 1$ .

$x^{n + 1} x^{q} \overset{?}{=} x^{n + 1 + q}$

Är detta rätt väg? vet dock inte hur jag skulle fortsätta av det jag läst.

Svara

Visa senaste svar