Bevis Ortogonala Matriser

Hej igen pluggakuten.

Jag har suttit med en bevis uppgift. De är lite knepiga då det sällan finns facit att tillgå.

Uppgiften lyder:

"Antag att matrisen A är ortogonal. Visa även att A^T och A^-1är ortogonala, samt att om B är ortogonal och av samma typ som A att även produkten AB är ortogonal."

Jag tänkte så här

A , B ortogonala <--> A är inverterbar med A^-1 = A^T, B är inverterbar med B^-1 = B^T

Om jag visar att inversen = transponatet för A^-1 respektive A^T har jag med hjälp av satsen ovan visat att de är ortogonala.

(A^T)^T=A, (A^-1 )^-1=A

Då jag vet att A är ortogonal och att A^-1 = A^T

(A^T)^-1=(A^-1)^-1=A

(A^T)^T=A, (A^T)^T=(A^T)^-1 <--> A^T är ortogonal

(A^-1)^-1= A

(A^-1)^T=(A^T)^T=A, (A^-1)^-1=(A^-1)^T <--> A^-1 är ortogonal.

Produkten tänkte jag på samma sätt,

Jag vet enligt förutsättning att A^-1=A^T och att B^-1=B^T

(AB)^-1=B^-1A^-1=B^TA^T=(AB)^T <--> AB är ortogonal.

Så tänkte jag, har dock inget att kontrollera mot. Är detta en godtagbar bevisföring?

Tack och Trevlig helg! =)

Bump, sitter med samma bevis och undrar om det redovisade från Aedrha är en godtagbar bevisföring!

För att visa att exempelvis $A^{T}$ är ortogonal så kan du visa att $A^{T}\left(A^{T}\right)^{T}=I$ . Det går lätt att visa genom exempelvis att $\left(A^{T}\right)^{T}=A$ , så $A^{T}\left(A^{T}\right)^{T}=A^{T}A=A^{-1}A=I$ eftersom $A$ är ortogonal.

På samma sätt, att visa att $AB$ är ortogonal så kan du visa att $AB\left(AB\right)^{T}=I$ .

Svara