Bevis om delare

Hur ser ditt induktionsantagande ut? Kan du manipulera båda sidor på något sätt så att du får att påståendet gäller för nästa heltal?

Induktionsantagandet som jag har skrivit det är:

73|8^p+2 + 9^2p+1 

dvs: 8^p+2 +9^2p+1 = 73K , där K är en konstant

För induktionssteget behöver du uttrycket för p+1. Hur ser det ut?

corneliaolsson skrev:

Induktionsantagandet som jag har skrivit det är:

73|8^p+2 + 9^2p+1 

dvs: 8^p+2 +9^2p+1 = 73K , där K är en konstant

 

Hej och Välkommen till Pluggakuten!

Precis som laguna säger måste vi veta vad p+1 är.

$8^{(p+1)+2}+9^{2(p+1)+1}=8^{p+3}+9^{2p+3}$Nu måste vi hitta ett sätt att skriva detta som ett en produkt som inkluderar 73, det finns ett annat bra exempel här(av albiki) ifall du vill ha flera exemepl.

jag börjar med att sätta in $9^2{8}^{p+2}$ och efter det faktoriserar jag lite  $$\begin{gathered} 8^{p+3}+9^{2p+3}+9^2{8}^{p+2}-9^2{8}^{p+2} \\ {9}^{2p+3}+9^2{8}^{p+2}+8^{p+3}-9^2{8}^{p+2} \\ {9}^2(9^{2p+1}+8^{p+2})+8^{p+2}(8-9^2) \end{gathered}$$ nu av induktions antagendet vet vi att $9^{2p+1}+8^{p+2}=73k$ där k är en konstant, ifall vi sätter in detta och förenklar får vi $9^2\left(73k\right)+8^p(8-81)=9^2\left(73k\right)+8^p(-73)=9^2\left(73k\right)-8^p\left(73\right)$ vi kan nu faktorisera ut 73 ur båda och får $73\left(9^2-8^p\right)$ och därmed är den delbar med 73 och ditt induktions bevis är färdigt.