Bevis och bevis

Steg 4 säger att eftersom kvoten är mindre än eller lika med 0 för varje x i intervallet, så kommer gränsvärdet vid intervallgränsen också vara mindre än eller lika med 0. Det känns ju väldigt intuitivt, men måste bevisas om man ska vara rigorös, och det är det som görs på raderna efter i version 2.

I princip säger man att om gränsvärdet f'(c) vore större än 0 så skulle man kunna klämma in $ϵ$ mellan 0 och f'(c) och att kvoten skulle vara större än $f\text{'}\left(c\right)-ϵ$ tillräckligt nära c. Men det skulle strida mot att kvoten är mindre än/lika med 0 på hela intervallet, alltså kan vi inte ha ett sådant gränsvärde.

Tack haraldfreij!

Men varför behöver vi räkna det överhuvudtaket?

Vi antog att f'(c) existerar, det innebär ju att funktion är deriverbar i c, som innebär att detta limit finns?

Hej!

• Satsens formulering är slarvig; istället för att skriva "$f'(x)$ existerar" ska det stå "derivatan f'(x) existerar för alla $x$ i det öppna intervallet $(a,b)$". 
• Satsens andra bevis är slarvigt skriven där det står $\exists \,\delta_\epsilon>0\quad \forall\,\epsilon>0$; istället ska det stå $\forall\,\epsilon>0\quad\exists\,\delta_\epsilon$. Ordningen på kvantorerna $\exists$ och $\forall$ spelar en stor roll.
• Sedan är det felskrivet där det står 

        $\displaystyle 0<><\delta_\epsilon \implies=""><>$

    istället ska det stå 

        $\displaystyle 0<><\delta_\epsilon \implies=""><>$

    Det spelar en stor roll att det är $\epsilon$ och inte $\delta_\epsilon$.

• Det som står direkt efter det jag just skrivit är också fel, eftersom det plötsligt står ett $\delta$ som inte har med $\epsilon$ att göra och som inte är definierat någonstans (förmodligen ett skrivfel, men det spelar stor roll om $\delta$ beror på $\epsilon$ eller inte) och man förklarar inte varför absolutbelopp $|x-c|$ inte längre är intressant så man studerar $x-c$. Det som sedan följer är bara en upprepning av det som står skrivet i raden ovanför (fast denna gång har $\epsilon$ hamnat på rätt ställe...).

Albiki skrev:

Hej!

• Satsens formulering är slarvig; istället för att skriva "$f'(x)$ existerar" ska det stå "derivatan f'(x) existerar för alla $x$ i det öppna intervallet $(a,b)$". 
• Satsens andra bevis är slarvigt skriven där det står $\exists \,\delta_\epsilon>0\quad \forall\,\epsilon>0$; istället ska det stå $\forall\,\epsilon>0\quad\exists\,\delta_\epsilon$. Ordningen på kvantorerna $\exists$ och $\forall$ spelar en stor roll.
• Sedan är det felskrivet där det står 

        $\displaystyle 0<><\delta_\epsilon \implies=""><>$

    istället ska det stå 

        $\displaystyle 0<><\delta_\epsilon \implies=""><>$

    Det spelar en stor roll att det är $\epsilon$ och inte $\delta_\epsilon$.

• Det som står direkt efter det jag just skrivit är också fel, eftersom det plötsligt står ett $\delta$ som inte har med $\epsilon$ att göra och som inte är definierat någonstans (förmodligen ett skrivfel, men det spelar stor roll om $\delta$ beror på $\epsilon$ eller inte) och man förklarar inte varför absolutbelopp $|x-c|$ inte längre är intressant så man studerar $x-c$. Det som sedan följer är bara en upprepning av det som står skrivet i raden ovanför (fast denna gång har $\epsilon$ hamnat på rätt ställe...).

 Andra punkten i mitt inlägg saknar en olikhet för $\delta_\epsilon$. Det ska stå

    $\forall\,\epsilon>0\quad\exists\,\delta_\epsilon>0$.

Psst, Albiki! Du kan redigera ditt inlägg. :)

Smutstvätt skrev:

Psst, Albiki! Du kan redigera ditt inlägg. :)

 Jo, jag vet men redigeringsprogrammet förstör mina formler som du kan se i den citerade texten. Jag orkade inte skriva om formlerna så det fick bli en kompletterande post istället. Jag förstår inte varför redigeringen beter sig på detta sätt.

Hmmm, det var nytt för mig. Jag ber administratörerna kolla på det. :)

dajamanté skrev:

Tack haraldfreij!

 

Men varför behöver vi räkna det överhuvudtaket?

Vi antog att f'(c) existerar, det innebär ju att funktion är deriverbar i c, som innebär att detta limit finns?

 Ja, vi vet att gränsvärdet finns, men vi måste också veta vad det är. Gränsvärdet behöver inte antas av kvoten på det öppna intervallet (kvoten är ju inte definierad i c, då nämnaren är noll), så vi kan inte utan motivering säga att gränsvärdet uppfyller samma olikhet som kvoten. Hade vi t.ex. haft strikt olikhet för kvoten, så hade vi fortfarande kunnat ha likhet för gränsvärdet. Det vi visar är däremot att eftersom kvoten är mindre än/lika med 0 på det öppna intervallet, så är gränsvärdet också mindre än/lika med 0. 

Tack Haralgfreij och Albiki. Jag måste nog fundera

Lite till på det :D