Bevis med vektorräkning
Hej!
Hur ska jag gå tillväga för att lösa följande övningsuppgift i matematik specialering?
"En följdsats till randvinkelsatsen säger att om man tar två diametralt motsatta
punkter på en cirkel och så går från den ena av dessa till cirkelns periferi, och därifrån
vidare till den andra så blir vinkeln alltid rät. Visa detta med vektorräkning."
Jag har ritat upp det som beskrivs i uppgiften.
Har en formel som kanske kan användas?
Tacksam för svar
Du kan alltid rotera cirkeln så att diametern går mellan punkterna (-r,0) och (r,0).
Vilka koordinater har en godtycklig punkt som ligger på cirkelns periferi?
Du vet alltså både startpunkt och slutpunkt för vektorn u. Hur uttrycker du vektorn u?
Du vet både startpunkt och slutpunkt för vektorn v. Hur uttrycker du vektorn v?
Vad vet du om skalärprodukten mellan två vektorer om vinkeln mellan dem är rät?
En variant:
Dra en vektor från cirkelns mitt till spetsen av u. Inför någon beteckning för vinkeln mellan den vektorn och positiv x-axel.
Beräkna längden av v (i kvadrat) uttryckt i kända kvantiteter.
Beräkna längden av u (i kvadrat) uttryckt i kända kvantiteter.
Du vet längden (i kvadrat) av vektorn u + v. Skalärprodukten mellan u och v trillar då ut.
Sätt ut lite etiketter på de punkter som finns. Låt C stå för centrumpunkten, A är punkten vektor u börjar i, B är punkten vektor u slutar i samt D är punkten vektor v börjar i. Både vektor u och v slutar i punkten B. Nu kan du dra en vektor r1 från punkten C till A, en vektor r2 från punkten C till punkten B samt en vektor r3 från punkten C till punkten D. Uttryck nu vektorerna u och v i vektorerna r1, r2 och r3. Beräkna sedan skalärprodukten mellan u och v. Vektorerna r1, r2 och r3 är vektorer du känner till så skalärprodukten blir plättlätt att beräkna.
