Bevis med induktion

Hej, jag försöker bevisa att $n^{5} - 5 n^{3} + 4 n$ är delbart med 120 för $n = 0, 1, 2, . . .$

Jag har faktoriserat och försöker bevis det med induktion genom att skriva som följande:

$p (n) = \frac{(n - 2) (n - 1) n (n + 1) (n + 2)}{5!} = m$ där m är ett godtyckligt heltal.

Basfallet är klar och jag har infört induktions antagandet att det gäller för något $n = k \geq 0$ men nu har jag kört fast när jag har kommit till p(k+1) delen. Jag har att

$p (k + 1) = \frac{(k - 1) k (k + 1) (k + 2) (k + 3)}{5!}$ men är osäker hur jag kan bevisa att det stämmer härifrån. Kan man bara analysera och säger att täljaren är i princip detsamma som i p(n), dvs 5 på varandra följande tal, eller kan man bara väljer ett värde för k och visa uträkningen?

Jag har sett att det går att lösa med modulo räkning men jag är lika förvirrad med den bevisnings metod och dessutom det här känns som en mer tydligt sätt att bevisa.

Jag skulle uppskatta lite tips och råd på hur jag kan avsluta beviset.

Tack på förhand!

MitchT skrev:
Hej, jag försöker bevisa att $n^{5} - 5 n^{3} + 4 n$ är delbart med 120 för $n = 0, 1, 2, . . .$

Jag har faktoriserat och försöker bevis det med induktion genom att skriva som följande:

$p (n) = \frac{(n - 2) (n - 1) n (n + 1) (n + 2)}{5!} = m$ där m är ett godtyckligt heltal.

Basfallet är klar och jag har infört induktions antagandet att det gäller för något $n = k \geq 0$ men nu har jag kört fast när jag har kommit till p(k+1) delen. Jag har att

$p (k + 1) = \frac{(k - 1) k (k + 1) (k + 2) (k + 3)}{5!}$ men är osäker hur jag kan bevisa att det stämmer härifrån. Kan man bara analysera och säger att täljaren är i princip detsamma som i p(n), dvs 5 på varandra följande tal, eller kan man bara väljer ett värde för k och visa uträkningen?

Jag har sett att det går att lösa med modulo räkning men jag är lika förvirrad med den bevisnings metod och dessutom det här känns som en mer tydligt sätt att bevisa.

Jag skulle uppskatta lite tips och råd på hur jag kan avsluta beviset.

Tack på förhand!

Varför induktionsbevis?

p(n) = n⁵-5n³+4n = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2), d v s det är lika med 5 konsekutiva, (på varandra följande) heltal. Om man har x stycken konsekutiva tal är ett av dem delbart med x. Då vet vi alltså att

ett av de fem talen är delbart med 5
minst ett av talen är delbart med 4
minst ett av talen är delbart med 3
minst ett tal som inte är delbara med 4 är delbart med 2

Alltså måste p(n) vara delbart med 5^.3^.4^.2 = 120.

Induktionsbevis mest för att jag kommer behöva använda det flera gånger under kommande veckor.

Jag hänger inte riktigt med. Om man ta till exempel 10,11,12,13,14 menar du att man får 5*4*3*2 från

10=5*2 (delbart med 5)

11=1*11

12=4*3 (delbart med 4 och 3)

13=1*13

14=2*7 (delbart med 2)

så att vi får (med talen från parentes) 5*4*3*2=120?

Också skulle det räcka som bevis?

Jag kanske ska lägga till om det går att bevisa på min valde metod eller inte?

MitchT skrev:
Induktionsbevis mest för att jag kommer behöva använda det flera gånger under kommande veckor.

Jag hänger inte riktigt med. Om man ta till exempel 10,11,12,13,14 menar du att man får 5*4*3*2 från

10=5*2 (delbart med 5) och med 2

11=1*11

12=4*3 (delbart med 4 och 3)

13=1*13

14=2*7 (delbart med 2)

så att vi får (med talen från parentes) 5*4*3*2=120?

Också skulle det räcka som bevis?

Ja.

Jag kanske ska lägga till om det går att bevisa på min valde metod eller inte?

Det får någon annan svara på. varför krångla till det när det inte behövs?

Svara

Visa senaste svar