Bevis med induktion

Hej jag har en uppgift som jag behöver visa med induktion och behöver lite tips vid induktionssteget.

uppgiften är:

Visa, med induktion, att $5^{n} + 2 (11^{n})$ är delbart med 3 för alla $n \geq 0$ .

Basfallet är då: $p (0) = 5^{0} + 2 * 11^{0} = 3 m \Leftrightarrow 1 + 2 = 3 m \Rightarrow m = 1$ vilket stämmer.

Induktionssteget:

Induktionsantagandet att $P (n) = 5^{n} + 2 * 11^{n} = 3 m$

vill bevis att p(n+1) är sann, n=k, då får man

$p (k + 1) = 5^{k + 1} + 2 * 11^{k + 1} = 3 m \Leftrightarrow 5 * 5^{k} + 2 * 11 * 11^{k} = 3 m$

Nu har jag kört fast och vet inte hur jag kan komma vidare. På andra uppgifter har jag sett att målet blir att visa att VL eller HL i P(n+1) är lika med VL eller HL i P(n) men det är lite svårare för mig att se en väg fram till målet i det här fallet.

Jag skulle verkligen uppskatta lite hjälp att komma vidare.

Tack på förhand!

Det är nog lättare att bryta ut faktorer (och plockar ned faktorer från exponenterna), tills du får ett uttryck som ser ut som det du antagit. Du vill med andra ord komma till $andra faktorer \cdot (5^{n} + 2 \cdot 11^{n})$ . :)

Är det inte vad jag försöker? Eller jag kanske hänger inte med.

Ursäkta, jag läste lite för fort. Det var precis så jag tänkte. 😅

Du behöver egentligen inte sätta lika med 3m, utan det räcker med att du delar upp termerna i fler delar. Vi har antagit att $(5^{k} + 2 \cdot 11^{k})$ är delbart med tre. Hur många sådana grupper kan vi dra ut från $5 \cdot 5^{k} + 11 \cdot 2 \cdot 11^{2}$ ? Det borde vara fem:

$5 \cdot (5^{k} + 2 \cdot 11^{k}) + 6 \cdot 2 \cdot 11^{k}$

Vad kan vi säga om dessa termer när det gäller delbarhet med 3? :)

Svara

Visa senaste svar