Bevis med hjälp av derivatans definition

De tittar på höger-gränsvärde och vänster-gränsvärde.

Gränsvärdet existerar om och endast om:

1) höger-gränsvärdet existerar;

2) vänster-gränsvärdet existerar; och

3) höger-gränsvärdet är lika med vänster-gränsvärdet.

I detta fall uppfylls inte 3) så gränsvärdet existerar inte.

I detta fallet sätter man h>0 resp h<0 därför att uttrycket, som vi ska bestämma gränsvärdet för, är OLIKA just beroende på om h>0 eller h<0. Att sätta h=0 är ju uteslutet eftersom vi aldrig får ha 0 i nämnaren. Du är kanske van vid att kunna sätta in gränsen i ett uttryck och få derivatan, men den metoden ska du aldrig lita på. Just definitionen av derivata är en sådan situation där du INTE kan sätta in gränsen i uttrycket.

Jag förstår, tack!

Jag tror jag behöver lite repetition från Ma3C. När är h större respektive mindre än 0?

 När är h större respektive mindre än 0?

Det väljer du själv. 

Smaragdalena skrev:

 När är h större respektive mindre än 0?

Det väljer du själv. 

Jag menar vad innebär det att h är större eller mindre än 0?

Om h > 0 så är det en högerderivata. Om h < 0 är det en vänsterderivata. Om h > 0 så är ju x+h längre till höger än x.

Smaragdalena skrev:

Om h > 0 så är det en högerderivata. Om h < 0 är det en vänsterderivata. Om h > 0 så är ju x+h längre till höger än x.

Om jag har förstått rätt så är h>0 när punkt B närmar sig A

och h < 0 när punkt C närmar sig A?

Ja, så ser det ut att vara i det här fallet. 

Smaragdalena skrev:

Ja, så ser det ut att vara i det här fallet. 

Jag förstår, tack så mycket för hjälpen!

Tomten skrev:

Du är kanske van vid att kunna sätta in gränsen i ett uttryck och få derivatan, men den metoden ska du aldrig lita på. Just definitionen av derivata är en sådan situation där du INTE kan sätta in gränsen i uttrycket.

När man t.ex. deriverar en generell funktion, så kommer man tillslut sluta skriva lim h-->0  och kunna sätta in 0 för att få derivatan till funktionen.

Ex. f(x) = x²-4. Om vi använder derivatans definition, så kommer vi tillslut förkorta bort ett h från nämnaren och täljaren och få 2x +h. Sedan kan man sätta att h är 0 och få att derivatan är 2x. Jag har aldrig förstått varför man kan sätta in 0 i h när vi sa att h aldrig fick vara 0...

Det är bara när h finns i nämnaren som h inte får lov att vara 0. När vi har förkortat bort h är det fritt fram att låta h bli 0.

Hej,

Funktionen $f(x)$ är deriverbar när $x=2$ precis då högergränsvärdet

    $\displaystyle\lim_{h\downarrow 0}\frac{f\left(2+h\right)-f\left(2\right)}{h}$

är lika med vänstergränsvärdet

    $\displaystyle\lim_{h\uparrow 0}\frac{f\left(2+h\right)-f\left(2\right)}{h}$;

det gemensamma värdet är då lika med derivatan $f^\prime(2)$.

• Beteckningen $h\downarrow 0$ betyder att $h$ närmar sig talet $0$ från höger, med andra ord är $h$ hela tiden ett positivt tal som närmar sig talet $0$.
• Beteckningen $h\uparrow 0$ betyder att $h$ närmar sig talet $0$ från vänster, med andra ord är $h$ hela tiden ett negativt tal som närmar sig talet $0$.

För funktionen $f(x)=|x-2|$ får man höger-differenskvoten

    $\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{|h|-0}{h}=\frac{h}{h}=1$

och vänster-differenskvoten

    $\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{|h|-0}{h}=\frac{-h}{h}=-1.$

• Höger-differenskvoten är hela tiden lika med $1$ så när $h\downarrow 0$ kommer även högergränsvärdet att vara lika med $1$.
• På samma sätt är vänster-differenskvoten hela tiden lika med $-1$ så när $h\uparrow 0$ kommer även vänstergränsvärdet att vara lika med $-1$.

Du ser att högergränsvärdet (1) inte är lika med vänstergränsvärdet (-1) så därför är funktionen $f(x)=|x-2|$ inte deriverbar när $x=2$.

• Beteckningen $h\downarrow 0$ betyder att $h$ närmar sig talet $0$ från höger, med andra ord är $h$ hela tiden ett positivt tal som närmar sig talet $0$.
• Beteckningen $h\uparrow 0$ betyder att $h$ närmar sig talet $0$ från vänster, med andra ord är $h$ hela tiden ett negativt tal som närmar sig talet $0$.

Så på grafen som jag infogat ovan, så är h mellan B och A = 2 och h mellan C och A = -2? och den kommer inte bli 0 men närma sig 0 så länge h finns i nämnaren?