Bevis med derivata

Hej!

Jag behöver hjälp med denna uppgift:

Jag har försökt lösa uppgiften så här:

Y=1-0.25x² (Funktionen till kurvan)

Y=KX (Funktionen till räta linjen)

1-0.25x² =KX

-0.25x²-KX+1=0 /:-0.25

X²+4kx-4=0 (Pq-formeln)

X₁=-2k+ $\sqrt{4 k^{2} + 4}$

X₂=-2k $- \sqrt{4 k^{2} + 4}$

Villkor för vinkelräta tangenter: y'(x₁)*y'(x₂)=-1

Kurvans derivata: y=-0.5x

y'(x₁)=-0.5(-2k+ $\sqrt{4 k^{2} + 4}$ )=k-0.5 $\sqrt{4 k^{2} + 4}$

y'(x2)=-0.5(-2k- $\sqrt{4 k^{2} + 4}$ )=k+0.5 $\sqrt{4 k^{2} + 4}$

Om jag har tänkt rätt hittills bör (k-0.5 $\sqrt{4 k^{2} + 4}$ )(k+0.5 $\sqrt{4 k^{2} + 4}$ )=-1

,men jag vet inte hur jag ska visa detta.

Har jag tänkt rätt hittills?

Tack på förhand!

Hej.

Det stämmer inte att tangenternas ekvationer är y = kx.

Detta är en (av många) uppgift(er) där det hjälper väldigt mycket att börja med att göra skisser av det man vet/är givet.

Börja alltså med att

Grovt skissa grafen till y = 1-0,25x²
RIta en godtycklig rät linje genom origo.
Markera skärningspunkterna mellan parabrln och linjen.
Grovt skissa de två tangenterna.

Visa hur det då ser ut.

En rät linje genom origo är väl alltid y=kx?

Om jag hittar där y=kx intersectar med den angivna kurvan, borde väl tangenternas värden kunna hittas?

Samham skrev:
En rät linje genom origo är väl alltid y=kx?

Ja, det stämmer. Men jag trodde att du menade att tangenterna ekvationer var y = kx, eftersom det var det du skrev innan du redigerade ursprungsinlägget.

Om jag hittar där y=kx intersectar med den angivna kurvan, borde väl tangenternas värden kunna hittas?

Ja, du kommer då att få fram x-värdena för skärningspunkterna. Vilket du har gjort.

======

Tips på hur du går vidare: Använd konjugatregeln för att förenkla uttrycket för $y'(x_1)\cdot y'(x_2)$ .

Tack för hjälpen!

Svara

Visa senaste svar