Bevis, linjär transformation

Hej!

Jag ska bevisa att följande gäller:

Låt $T : ℝ^{n} \to ℝ^{m}$ vara en linjär transformation. Då finns det en unik matris A sådan att

$T (x) = A x$ för alla $x$ i $ℝ^{n}$ .

Faktum är att A är $m \times n$ -matrisen vars j:de kolumn är vektorn $T (e_{j})$ , där $e_{j}$ är den j:de kolumnen i identitetsmatrisen i $ℝ^{n}$ :

$A = [T (e_{1}) \dots t (e_{n})]$

Bevis:

Först bevisar jag att en sådan matris A finns och sedan dess unikhet.

Existens:

$x = I_{n} x = [e_{1} \dots e_{n}] x = x_{1} e_{1} + \dots + x_{n} e_{n}$

Och eftersom T är linjär så får vi att

$T (x) = T (x_{1} e_{1} + \dots + x_{n} e_{n}) = x_{1} T (e_{1}) + \dots + x_{n} T (e_{n}) = [T (e_{1}) \dots T (e_{n})] [\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}] = A x$

Och existensen är därmed bevisad.

Unikhet:

Här kör jag fast. Jag tänker att jag på något vis behöver visa att om A är standardmatrisen för T så måste kolumnerna i A och B vara identiska, om $T (x) = B x$ där B är en $m \times n$ -matris.

I princip alltid när det kommer till att bevisa unikhet för linjära saker, så använder man följande idé. Man visar att den enda matrisen till följande avbildning F(x) = 0 är matrisen 0.

Att detta är tillräckligt att visa inser man genom att notera att om vi har att

$T (x) = A x, o c h T (x) = B x$

Så gäller det att

$0 = T (x) - T (x) = (A - B) x$

Så A - B är matrisen till den linjära avbildningen F(x) = 0, vilket alltså innebär att A - B = 0 eller A = B.

Därför så är förslaget att du visar att F(x) = 0 har den unika matrisen 0.

Tack!

Men är det verkligen nödvändigt att visa att att A-B måste bli en nollmatris? Om (A-B)x = 0 för alla x inom en definitionsmängd så är det väl uppenbart att A=B?

Hmm, vid närmare eftertanke kanske jag inte tänkte igenom det där inlägget tillräckligt. För när jag tänker efter hur man skulle visa att 0 är den enda matrisen till F(x), så inser jag att det blir i princip lika enkelt att visa omedelbart att A = B i stället för att gå denna omväg.

Du har att Ax = Bx för alla x, och framför allt för x = e_i, detta innebär ju att kolumnen i för matris A måste vara lika med kolumn i för matris B. Därför är alla kolumner lika i A och B och därmed är A = B.

Räcker det inte med att skriva som du gjorde, nämligen att

0 = T(x) - T(x) = Ax - Bx = (A - B)x

för alla x. För att A - B = 0 så måste ju A = B.

Problemet med det är att du då antar att det du ska visa är sant i ett specialfall, vilket inte känns helt okej. Du antar alltså att matrisen för F(x) = 0 är unik.

Hej!

Om ni inte har något emot att jag blandar mig i diskussionen så vill jag bara tillägga en sak: resonemanget kretsar kring att det bara finns en enda matris (M) som har följande egenskap: För varje vektor x är vektorn Mx lika med nollvektorn.

Albiki

Det är helt okej att du dyker in Albiki, men notera att din poäng redan tagits upp. Anledningen till att jag föreslår att man kan skippa detta är för att det känns lika enkelt att omedelbart visa att A = B som att visa det du föreslår.

Svara

Visa senaste svar