Bevis, induktion

Jag sitter med en uppgift där man ska bevisa att följande påstående stämmer och förstår hur man ska göra med n men inte n+1 fallet:

Använd induktion för att bevisa att $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^{2}} = \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + . . . + \frac{1}{n^{2}} \leq 2 - \frac{1}{n}$

För fallet n=1 får vi att $1 \leq 2 - 1 = 1$ men då vi ska visa att resultatet även gäller för n+1 får jag lite svårt.

Ska man sätta $\frac{1}{{(n + 1)}^{2}} \leq 2 - \frac{1}{(n + 1)}$

Ja, notera nu hur VL kan delas upp i $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^{2}} + \frac{1}{(n + 1)^{2}}$ . Vad kan du göra med den informationen tillsammans med ditt antagande?

ska vi alltså få $\frac{1}{k^{2}} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} \leq 2 - \frac{1}{n + 1}$

Ja, förutom att du glömt summatecknet framför det vänstra bråket i VL. Sedan vet du från ditt antagande att $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^{2}} \leq 2 - \frac{1}{n}$ . Vad kan du göra med det för att förenkla ditt uttryck?

Svara

Visa senaste svar