Bevis genom matematisk induktion

Hej!

Jag har fastnat på steg 3. Hur går jag vidare?

Uppgiften lyder: "Bevisa genom matematisk induktion att (1+x)ⁿ $\geq$ 1+nx för alla x>0, för n $\in$ $ℕ$ ."

Steg 1: För n=1 är VL $\geq$ 2 för x $\geq$ 1.

Steg 2: Vi antar att för n=k är (1+x)^k $\geq$ 1+kx.

Steg 3: För n=k+1 är VL=(1+x)^k+1 = (1+x)^k(1+x) = ....?

Steg 3: VL=(1+x)^(k+1) = (1+x)^k(1+x)

Sätt in olikheten från steg 2. Vad får du?

EDIT: steg 1 bör vara något i stil med

för n = 1 är VL = (1 + x)^1 = 1 + x och HL = 1 + 1*x = 1 + x så VL = HL.

(1+x)^k(1+x) $\geq$ 1+(k+1)x ?

Steg 2 säger att

(1 + x)^k ≥ 1 + kx

I så fall är

(1 + x)^k(1 + x) ≥ (1 + kx)(1 + x) = ...

Ok, steg 3 då?

Uttrycket ovan är VL i steg 3!

Steg 3

Blir inte (1+x)^k(1+x) ≥1+(k+1)x

(1+x)^k(1+x) ≥1+kx+x

(1+x)^k(1+x) ≥(1+x)+kx ?

Hur fick du i högra ledet (1 + kx)(1 + x) ?

Använd induktionsantagandet! Du antar att (1+x)^k ≥1+kx så (1+x)^k(1+x) ≥(1+kx)(1+x). Kommer du vidare?

Bara till nästa steg : (1+x)^k ≥(1+kx)

Men det är egentligen steg 2

Steg 3

För n=k+2 är $(1+x)^{k+1}=(1+x)^{k}(1+x)\ge(1+kx)(1+x)>1+kx$ eftersom x>0.

Svara

Visa senaste svar