Bevis Gauss divergenssats

Jag har en fråga kring röd pil längst ner. Vi har $\iint_{S_1}F_{3}k \cdot N \, dS=\iint_{R}F_{3}(0,0,1) \cdot (-g_1,-g_2,1) \, dxdy=\iint_{R}F_{3} \, dxdy$ så får jag det till. Men vid röd pil står det att F₃ är en funktion/vektorfält, jag trodde det var en konstant? ty $F(x,y,z)=F_{1}i+F_{2}j+F_{3}k$

Ingen motsägelse här. F är ett vektorfält och dess komponenter (dvs. F₁, F₂ och F₃) är skalära funktioner av x, y och z.

$\vec{F} (x, y, z) = F_{1} (x, y, z) \cdot \vec{i} + F_{2} (x, y, z) \cdot \vec{j} + F_{3} (x, y, z) \cdot \vec{k}$

Macilaci skrev:
Ingen motsägelse här. F är ett vektorfält och dess komponenter (dvs. F₁, F₂ och F₃) är skalära funktioner av x, y och z.

$\vec{F} (x, y, z) = F_{1} (x, y, z) \cdot \vec{i} + F_{2} (x, y, z) \cdot \vec{j} + F_{3} (x, y, z) \cdot \vec{k}$

Okej då förstår jag! Är det alltid så att F₁, F₂ och F₃ är skalärvärda funktioner om inget annat står?

Ja, jag tror det.

Har en till fråga, vet inte om jag måste göra ny tråd men chansar här. I satsen står det att integrationsgränsen till dubbelintegralen är randen till D, vad är randen till ett objekt i 3D? Är det skalet av objektet eller randen till projektionen av objektet på xy planet?

Vi integrerar på skalet och använder projektionen för att hjälpa till att iterera över hela ytan (se till att vi räknar med varje bit av undersidan och översidan), men vi är mycket glada över att upptäcka att kNdS = dxdy, vilket förenklar integrationen.

Svara

Visa senaste svar