Bevis gällande ortogonala matriser

Hej!

Har följande uppgift:

Visa att om A och B är ortogonal så är $A B^{T}$ ortogonal.

Min lösning:

Bildar en ny matris av Q som är lika med $A B^{T}$ . Visar att inversen av G är lika med transponatet av Q. Då är frågan besvarad.

$Q^{- 1} = {(A B^{T})}^{- 1} = B A^{T} Q^{T} = {(A B^{T})}^{T} = B A^{T} Q^{- 1} = Q^{T}$

Jag har använt mig av reglerna för matrismultiplikation (tror jag). Givet i sats 4 i Sparr,G så är ${(A B)}^{- 1} = B^{- 1} {A^{- 1}}^{}$ Dvs inversen av produkten är lika med produkterna av inverse i motsatt ordning. Det borde väl funka att göra det som ovan? Även om det står $B^{T}$ i första termen i HL i första ekvationen.

Kommer ej ihåg om regeln (AB)^T= B^TA^T gäller generellt? I så fall OK, annars har du väl utnyttjat att Q^T = Q^-1 vilket du inte får, eftersom det sambandet var vad du skulle bevisa?

Tomten skrev:
Kommer ej ihåg om regeln (AB)^T= B^TA^T gäller generellt? I så fall OK, annars har du väl utnyttjat att Q^T = Q^-1 vilket du inte får, eftersom det sambandet var vad du skulle bevisa?

Ja den regeln gäller generellt enligt Sparr iallafall. Tänkte skriva det i första inlägget men skippade det. Ja det är inte korrekt om det sambandet inte gäller. tack för svaret!

Jodå. Formeln stämmer.

${(A B)}_{i j}^{T} = {(A B)}_{j i} = \sum_{k} A_{j k} B_{k i} = \sum_{k} B_{i k}^{T} A_{k j}^{T} = {(B^{T} A^{T})}_{i j}$

Svara

Visa senaste svar