Bevis för att sup A = sqrt(2)

Det kanske är naturligt att visa sup A i R, men man borde inte behöva veta något om R, ens att den mängden finns.

Det du vill visa i princip är ju att det alltid kommer finnas ett rationellt tal $\frac{c}{d}$ sådant att:

Om $0<\frac{a}{b}<\sqrt{2}$ kommer $\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$.

Antag att $\frac{a}{b}<\sqrt{2}$, och låt $p=\sqrt2-\frac{a}{b}>0$. Vi kommer alltid kunna hitta ett $u$ sådant att $\frac{1}{u}< p$. Det betyder att vi alltid kommer kunna hitta ett $u$ sådant att:

$\displaystyle \frac{a}{b}<\frac{a}{b}+\frac{1}{u}<\frac{a}{b}+p=\sqrt{2}$

Det betyder att det alltid finns ett rationellt tal mindre än $\sqrt2$ men större än $\frac{a}{b}$.

En alternativ attack skulle kunna vara så här: Q är totalt ordnad med sin vanliga ordningsrelation. Om en delmängd A av Q då har en minsta övre begränsning så är denna unik. Att sedan visa att det enda element som kan vara sup A, nämligen sqr(2) inte tillhör Q görs med ett klassiskt motsägelsebevis som man brukar finna i gymnasiet.

naytte skrev:

Det du vill visa i princip är ju att det alltid kommer finnas ett rationellt tal $\frac{c}{d}$ sådant att:

Om $0<\frac{a}{b}<\sqrt{2}$ kommer $\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$.

Antag att $\frac{a}{b}<\sqrt{2}$, och låt $p=\sqrt2-\frac{a}{b}>0$. Vi kommer alltid kunna hitta ett $u$ sådant att $\frac{1}{u}< p$. Det betyder att vi alltid kommer kunna hitta ett $u$ sådant att:

$\displaystyle \frac{a}{b}<\frac{a}{b}+\frac{1}{u}<\frac{a}{b}+p=\sqrt{2}$

Det betyder att det alltid finns ett rationellt tal mindre än $\sqrt2$ men större än $\frac{a}{b}$.

Snygg lösning! Jag funderar bara på om beviset är för begränsat. Vad du visat är att det för varje $T\in \mathrm{\mathbb{Q}}$ för vilken gäller $T<\sqrt{2}$ finns ett $x\in A$så att $x>T$. Behöver man inte visa att detta även gäller för alla $T\in \mathrm{ℝ}$ med $T<\sqrt{2}$?

Jag är inte säker på om jag förstår vad du menar. Men för sinnesfridens skull skulle vi ju kunna köra på något likt ett motsägelsebevis:

Antag att det existerar en minsta övre begränsning $\displaystyle \sup A \in \mathbb{Q}_{+}$. Då betyder det att det kommer gå att hitta ett maximalt rationellt tal $\sup A = y<\sqrt2$. Men det går inte eftersom vi, som har visats, för varje rationellt tal i $A$ alltid kan hitta ett större som också ligger i $A$. Så $\sup A \not\in \mathbb{Q}_{+}$.

Q.E.D.

Det är åtminstone så jag resonerar. Jag kanske är ute och cyklar.

naytte skrev:

Jag är inte säker på om jag förstår vad du menar. Men för sinnesfridens skull skulle vi ju kunna köra på något likt ett motsägelsebevis:

Antag att det existerar en minsta övre begränsning $\displaystyle \sup A \in \mathbb{Q}_{+}$. Då betyder det att det kommer gå att hitta ett maximalt rationellt tal $\sup A = y<\sqrt2$. Men det går inte eftersom vi, som har visats, för varje rationellt tal i $A$ alltid kan hitta ett större som också ligger i $A$. Så $\sup A \not\in \mathbb{Q}_{+}$.

Q.E.D.

---

Det är åtminstone så jag resonerar. Jag kanske är ute och cyklar.

Det jag försökte säga var att det du visat är att det för alla rationella tal som är mindre än $\sqrt{2}$ gäller att det finns ett tal i A mellan det och $\sqrt{2}$. Men beviset utesluter inte att det kan finnas något irrationellt tal som är mindre $\sqrt{2}$ för vilken det inte existerar några tal i A som ligger mellan det och 2. Beviset är absolut en bit på väg men krävs det inte också att man visar att det inte existerar något sådant irrationellt tal?

Uppgiften var väl bara att visa att det saknas supremum i $\mathbb{Q}_+$? Då borde beviset jag föreslog räcka.

Det du vill visa är snarare att det inte finns något tal som är mindre än $\sqrt2$ som inte ligger i $A$, eller missförstår jag dig?

Prova det här: jag påstår att om det gäller att q² < 2 där q = a/b, så gäller att q₁ > q och q₁² < 2 om q₁ = (a²+2b²)/(2ab).

Man kan alltså alltid hitta ett rationellt tal som är större än q för vilket gäller att kvadraten är mindre än 2.

naytte skrev:

Uppgiften var väl bara att visa att det saknas supremum i $\mathbb{Q}_+$? Då borde beviset jag föreslog räcka.

Det du vill visa är snarare att det inte finns något tal som är mindre än $\sqrt2$ som inte ligger i $A$, eller missförstår jag dig?

Ah! Smart tänkt. Jag var så fastkörd i att bevisa att $sup A=\sqrt{2}$ att jag inte ens tänkte på att man inte behöver dra det så långt. Tusen tack för hjälpen!