Bevis för att om ett tresiffrigt tal är delbart med 3 så är dess siffersumma delbar med 3

Talet som skrivs abcde har värdet 10000a + 1000b + 100c + 10d + e, eller hur? 10d = (9+1)d = 9d + d. 9d är delbart med 3, så det kan du dra bort från talet utan att ändra delbarheten. Samma sak med 99c etc. Kvar får du att a+b+c+d+e är delbart med 3 om (och endast om) talet är delbart med 3.

L1vL skrev:

Som rubriken lyder: visa generellt att om ett tresiffrigt tal är delbart med 3 så är dess siffersumma delbar med 3. 

Jag vet att det är såhär men inte hur man bevisar det. 

Du kan få början på ett bevis här:

Kalla det tresiffriga talet för T.

Om talets hundratalssiffra är x, tiotalssiffra är y och entalssiffra är z så kan talet skrivas T = 100x + 10y + z.

Att talet är delbart med 3 innebär att det finns ett heltal k sådant att T = 3k.

Skriv nu talet T på följande sätt: T = (99x + x) + (9y + y) + z = 99x + 9y + (x + y + z).

Eftersom T = 3k så gäller det att 3k =  99x + 9y + (x + y + z).

Kommer du vidare härifrån?

Hur kommer det sig att ni kan ta bort t.ex ett x/c från 100 är det för att alla tal är delbara med ett? 

100x = 99x + x och 99 är delbart med 3.

L1vL skrev:

Hur kommer det sig att ni kan ta bort t.ex ett x/c från 100 är det för att alla tal är delbara med ett? 

Jag förstår inte vad du menar.

Gäller din fråga mitt lösningsförsag eller det från haraldfreij?

Svaret syftar till er båda eftersom att ni verkar lösa det på samma sätt... Jag undrar varför ni "kan" ta bort t.ex ett x från 100x? Då tänkte jag att ni kanske kunde det därför att alla tal är delbara med sig självt, alltså ett. 

Smaragdalena skrev:

100x = 99x + x och 99 är delbart med 3.

 som jag skrev igår, och eftersom 99 är delbart med 3 är även 99x delbart med 3. 

Aja, jag förstår inte det helt. Får klura vidare. Tack för hjälpen! 

L1vL skrev:

Svaret syftar till er båda eftersom att ni verkar lösa det på samma sätt... Jag undrar varför ni "kan" ta bort t.ex ett x från 100x? Då tänkte jag att ni kanske kunde det därför att alla tal är delbara med sig självt, alltså ett. 

Jag tar inte bort ett x från 100x, jag delar upp 100x i två delar, nämligen 99x och 1x. Detta är OK eftersom 100x = 99x + x.

På samma sätt delar jag upp 10y i två delar: 9y och 1y. Detta är OK eftersom 10y = 9y + y.

Är det svar på din fråga?

Edit: Ja, det var lite klantig av mig att inte dubbelkolla under vilken rubrik det var postat, sorry L1vL. Strunta i mitt svar tills vidare!

Om det tresiffriga talet $xyz$ uppfyller

$x+y+z\equiv 0\pmod{3}$

Får vi med reglerna för modulär aritmetik

$100x+10y+z\equiv (1)\cdot x+(1)\cdot y+z\equiv0\pmod{3}$

Eftersom såväl 100 som 10 lämnar resten 1 vid division med 3.

Guggle skrev:

Om det tresiffriga talet $xyz$ uppfyller

$x+y+z\equiv 0\pmod{3}$

Får vi med reglerna för modulär aritmetik

$100x+10y+z\equiv (1)\cdot x+(1)\cdot y+z\equiv0\pmod{3}$

Eftersom såväl 100 som 10 lämnar resten 1 vid division med 3.

 Bra svar på Ma5-ninvå. Eftersom frågan är i Ma1-forumet behöver man inte skämmas för att man inte begriper ett skvatt.