Bevis för additionsformlerna för sinus och cosinus utan geometri?

Har inget färdigt bevis men det går säkerligen att visa med hjälp av följande definitioner:

$\displaystyle \sin x =\frac{1}{2i}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)$

$\displaystyle \cos x=\frac{1}{2}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)$

naytte skrev:

Har inget färdigt bevis men det går säkerligen att visa med hjälp av följande definitioner:

$\displaystyle \sin x =\frac{1}{2i}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)$

$\displaystyle \cos x=\frac{1}{2}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)$

Jo jag kom nyss på det för några minuter sedan och skrev ut ett bevis för cosx.

Det enda problemet jag har med att visa additionsformlerna med detta är att det vanligaste beviset för eulers formel beror på taylor utvecklingen av sinx och cosx, vilket i sin tur beror på derivatan (om man inte kan visa serien på något annat sätt, vilket säkert går med tanke på att man kan lätt hitta serien för 1/(1-x) utan derivata), vilket i alla fall med derivatans definition visas delvis med additionsformlerna. Jag vet att det finns några andra bevis för eulers formel, kommer inte på dem just nu dock.

Jag skulle påstå att det ovanstående helt enkelt är definitioner. Principiellt behöver inte veta något om Eulers identitet eller Taylorutvecklingar. Vi bestämmer helt enkelt att funktionerna $\sin x$ och $\cos x$ kan skrivas så.

naytte skrev:

Jag skulle påstå att det ovanstående helt enkelt är definitioner. Principiellt behöver inte veta något om Eulers identitet eller Taylorutvecklingar.

Hm. Jag antar det, ja. Dock måste man väl använda något sådant för att länka tillbaka dessa definitioner till de geometriska implikationerna av funktionerna

Nu förstår jag inte riktigt vad du menar.

naytte skrev:

Nu förstår jag inte riktigt vad du menar.

Man kan ju även definiera sin(x) och cos(x) (i alla fall den första kvadranten) som förhållandet mellan kateterna och hypotenusan. Utan något som länkar den komplexa definitionen till detta tänker jag att man inte kan definiera de som samma funktion. 

Ja, man kan definiera sin(x) med komplexa exponenter men man kan inte blankt påstå att det även har att göra med förhållandet i trianglar utan att visa det, vilket jag tänker måste göras med eulers formel eller serie-utveckling eller nåt annat jag inte kommer på just nu

Eulers identitet följer ganska trivialt av dessa definitioner. Så det är inget stort problem. Sedan borde det inte vara så krångligt att visa att de gamla definitionerna som "motstående över hypotenusan" och "närliggande över hypotenusan" är ett specialfall av de nya definitionerna.