Bevis ellipsens ekvation

Har gjort ett bevis för ellipsens ekvation när centrum är i origo men går inge vidare när centrum inte är i origo.

Då är ju ellipsens ekvation $\frac{(x - h)^{2}}{a^{2}} + \frac{(y - k)^{2}}{b^{2}} = 1$

(eller $\frac{(x - h)^{2}}{b^{2}} + \frac{(y - k)^{2}}{a^{2}} = 1$ om ellipsen är vertikal).

Men om jag nu ska visa den generella ekvationen då ellipsen är vertikal så tycker jag det borde vara på liknande sätt som när centrum är i origo.

Har börjat såhär:

Låt ellipsen vara vertikal och ha centrum i (h,k). Brännpunkterna är (h-c,k) respektive (h+c,k). Kalla avståndet från brännpunkten (h-c,k) till en godtycklig punkt (x,y) på ellipsen $d_{1}$ . Avståndet från brännpunkten (h+c,k) till (x,y) kallar vi $d_{2}$ .

Enligt definitionen för en ellips är $d_{1} + d_{2}$ konstant, och lika med 2b (b är halva transversalaxeln) enligt distansformeln.

Vi kan beräkna $d_{1} = \sqrt{(x - {(h - b))}^{2} + {(y - k)}^{2}}$ och $d_{2} = \sqrt{(x - {(h + c))}^{2} + {(y - k)}^{2}}$ .

Alltså är $d_{1} + d_{2} = \sqrt{(x - {(h - b))}^{2} + {(y - k)}^{2}} + \sqrt{(x - {(h + c))}^{2} + {(y - k)}^{2}} = 2 b$ .

Är det här i början det blir fel redan?

Tacksam för hjälp!

Du skrev (h-b) i formeln för d1 men det ska vara (h-c).

Din metod kanske fungerar (har inte prövat), men är det inte enklare att ta från ekvationen med hjälp av en parametrisering av kurvan?

Om medelpunkten ligger i $(p; q)$ så kan ellipsen beskrivas med hjälp av

$x=p+a\cdot cos(t)$

$y=q+b\cdot sin(t)$

där $0\leq t<2\pi$ och $a, b$ är halvaxlarna.

Isolera nu de trigonometriska uttrycken, kvadrera och summera sedan ekvationerna.

Trigonometriska ettan binder sedan ihop det hela.

Ytterligare ett alternativ är att införa ett nytt koordinatsystem med origo i (h, k). Om vi kallar koordinaterna i detta nya koordinatsystem x’ och y’ så kan ellipsen beskrivas i det nya koordinatsystemet, med utnyttjande av vad du redan visat, med

(x’)²/a² + (y’)²/b² = 1. (A)

Vi har följande samband mellan koordinaterna i gamla och nya systemet

x = x’ + h

y = y’ + k.

Dvs x’ = x - h och y’ = y - k. Om vi sätter in detta i (A) så erhålls det önskade resultatet.

PATENTERAMERA skrev:
Ytterligare ett alternativ är att införa ett nytt koordinatsystem med origo i (h, k). Om vi kallar koordinaterna i detta nya koordinatsystem x’ och y’ så kan ellipsen beskrivas i det nya koordinatsystemet, med utnyttjande av vad du redan visat, med
(x’)²/a² + (y’)²/b² = 1. (A)
Vi har följande samband mellan koordinaterna i gamla och nya systemet
x = x’ + h
y = y’ + k.
Dvs x’ = x - h och y’ = y - k. Om vi sätter in detta i (A) så erhålls det önskade resultatet.

Då kan man hantera ellipser som ligger på snedden också.

Tack för hjälpen!!!

Svara

Visa senaste svar