Bevis disk matte

Hej

Hur har du själv försökt? Det gör det lättare för oss att hjälpa dig på en rätt nivå, samt bygga vidare på det du har gjort.

Ett motsägelsebevis grundar sig på att du ska utgå från motsatsen. Det vill säga att roten ur 3 går att skriva som ett rationellt tal. Vad är ett rationellt tal och hur ser ett rationellt tal ut?

Gissar att du kanske redan kommit i alla fall så långt, men därför är det bra om du skriver hur långt du kommit så kan vi hjälpa dig därifrån.

Vi kan börja med anta att det är ett rationellt tal och att a / b inte går att förkorta, d.v.s att den står i sin enklaste form.

$\sqrt{3} = \frac{a}{b}\to a^2=3b^2$

Eftersom det är antaget att a och b är heltal, $a, b\in \mathrm{\mathbb{Z}}$, vet vi att a är delbart med 3. Eftersom

$\frac{a^2}{3}=b^2$ som är ett heltal.  Eftersom vi vet att a är delbart med tre kan vi skriva a som

$a = 3*c$. Om vi stoppar in detta istället för a får vi att $\frac{(3*c{)}^2}{3}=3c^2=b^2\to c^2=b^2/3$

Vi måste nu ha att eftersom a, b och c är heltal att både a och b har en faktor av 3 vilket betyder att den skulle gå att förkorta bort. Detta går emot vårt antagande att bråket står i sin enklaste form. Hoppas det blir lite tydligare :)

AladdinPerzon skrev:

Vi kan börja med anta att det är ett rationellt tal och att a / b inte går att förkorta, d.v.s att den står i sin enklaste form.

$\sqrt{3} = \frac{a}{b}\to a^2=3b^2$

Eftersom det är antaget att a och b är heltal, $a, b\in \mathrm{\mathbb{Z}}$, vet vi att a är delbart med 3. Eftersom

$\frac{a^2}{3}=b^2$ som är ett heltal.  Eftersom vi vet att a är delbart med tre kan vi skriva a som

$a = 3*c$. Om vi stoppar in detta istället för a får vi att $\frac{(3*c{)}^2}{3}=3c^2=b^2\to c^2=b^2/3$

Vi måste nu ha att eftersom a, b och c är heltal att både a och b har en faktor av 3 vilket betyder att den skulle gå att förkorta bort. Detta går emot vårt antagande att bråket står i sin enklaste form. Hoppas det blir lite tydligare :)

 Varför ska man anta att det står i enklaste form?

Varför ska man anta att det står i enklaste form?

För att man skall komma fram till ett motsägelsebevis. Om ett bråk är skrivet i enklaste form, kan inte täljare och nämnare vara delbara med samma tal.

Smaragdalena skrev:

Varför ska man anta att det står i enklaste form?

För att man skall komma fram till ett motsägelsebevis. Om ett bråk är skrivet i enklaste form, kan inte täljare och nämnare vara delbara med samma tal.

 Rationella tal måste väl inte stå i enklaste form? Det jag undrar är hur man ska komma fram till att man behöver skriva  det i enklaste form och sedan få en motsägelse när förenklingen inte har något med villkoret att göra?

Man provar allt man kan göra, och att förenkla är en sådan sak. 

Hur gör man det här om det är kubikroten ur ett tal man ska visa är inte rationellt?