Bevis delbar

plusminus skrev:

Visa att 

4 l (1200 + a) om a är delbart med a

hur ska man bevisa det här?

Menar du om a är delbart med 4? a är alltid delbart med a. :) 

Jag skrev fel. Ja om a är delbart med 4 c:

Lätt hänt! 

Här är det lättast att titta på talen för sig. Om a är delbart med 4, delar 4 talet a (ja, behövs inget vidare bevis för det 😄). Hur är det med delbarheten för 1200? :)

Funkar bra med 1200 också. 

Men hur kan man kolla på varje för sig? 😅  1200+a (valfritt tal på a kan ju vara vad som helst). Men hur kan man försäkra att summan av 1200 och a kommer vara delbar med 4?

Japp! 

Detta fungerar på grund av principerna för delbarhet. Vi letar efter ett heltal k som gör att $1200+a=4k$. Men eftersom det är addition/subtraktion, kan vi undersöka om vi kan skriva om respektive term som produkter av 4 och heltalen m respektive n. Om vi kan hitta några heltal sådana att

$\stackrel{1200}{\overbrace{4m}}+\stackrel{a}{\overbrace{4n}}=4k$

Då har vi hittat vårt k, i form av $k=m+n$. 

Detta går även att bevisa genom kongruens (kongruens och delbarhet hänger ihop, men det är lite olika sidor av myntet). Om vi har beräkningen $\left(a+b\right) (\mathrm{mod} c)$ får vi enligt moduloräkningens lagar applicera modulooperationen på varje enskild term först, och sedan summera deras rester: 

$\left(a+b\right) (\mathrm{mod} c)\equiv a (\mathrm{mod} c)+b(\mathrm{mod} c)$

Det är precis vad vi gör här i denna uppgift. 1200 ger ingen rest vid division med 4, och a gör det, enligt uppgiftens premisser, inte heller. Därmed får vi ingen rest då $1200+a$ divideras med 4. :)

Hur menar du att 1200 blir 4m och att a blir 4n. Och högerled 4k

4 l 1200 + a

4(300) kan man skriva 1200

att a är delbart med 4 skriver du alltså som 4n?

Hänger inte med på hur man ska baka ihop allt.

Det är nog egentligen lättare att börja från vänsterledet, med 1200 och a. Om de är delbara med fyra, innebär det att det finns två heltal, m och n, sådana att 

$1200=4\cdot m$

och 

$a=4\cdot n$

Vi vet att $m=300$, eftersom att vi kan konstatera att $4\cdot300=1200$. Och vi vet att a är delbart med 4 eftersom att det ges av uppgiftens premisser. 

Summan av de två talen blir då $1200+4n$, som även kan skrivas som $4m+4n=4(m+n)$. Det innebär att vi vet att summan kan skrivas som en produkt av 4, och är därmed delbar med 4. :) 

Tackar!