Bevis: Definiera begreppet analytisk funktion ovh vis att den komplexa derivatan esxisterar omm ,,,

Här är det jag tänker på:

Det första du bör göra är att skriva ut vad alla dina beteckningar betyder. Bara ett enkelt "Låt $f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$" gör allting mycket enklare att förstå. Försök även att hålla dig till beteckningarna i uppgiften. I uppgiften väljer man nämligen $v(x,y)$, inte $w(x,y)$.

Om vi börjar med att titta på imaginära delen: $h$ kommer alltid att gå mot 0 här, skriver bara inte ut det.

$f'(z)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(z+hi)- f(z)}{hi}=\frac{u(x+h,y)+wi(x+h,y)-(u(x,y)-wi(x,y)}{hi}$

$\dfrac{u(x+h,y)-u(x,y)+i(w(x+h,y-w(x,y))}{hi}=\dfrac{i(u(x+h,y)-u(x,y)+i(w(x+h,y)-w(x,y))}{h}$

• Om du lägger till $hi$ är det väl imaginärdelen (y) som borde öka med $h$, inte realdelen (x)?
• Varför är det ett minustecken framför $iw(x,y)$? Det är ju en parentes framför.
• Vad händer på andra raden? Varför försvinner $i$:et i nämnaren och dyker upp på den ena termen i täljaren?
• Hur leder dig detta till $-i\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}$? Det är ju särskilt underligt att derivatorna är med avseende på $y$ eftersom det står $u(x+h,y)$ och $w(x+h,y)$ i ditt uttryck.

Så alltså

$\dfrac{du}{dx} \pm \dfrac{dv}{dy}$

Vad betyder detta? Hur visar detta att derivatorna uppfyller Cauchy-Riemanns ekvationer? Det är viktigt att vara tydlig med att tydligt demonstrera att man kommit fram till det man ska visa.

Som jag förstår det använder du dig av en liknande strategi som Wikipedia gör. Då bör du vara uppmärksam på att detta visar att det är nödvändigt för en analytisk funktion att uppfylla Cauchy-Riemanns ekvationer, men inte det omvända, d.v.s. att en funktion är analytisk ifall den uppfyller Cauchy-Riemanns ekvationer (vilket du borde göra i och med att det står 'om och endast om' i uppgiften).

AlvinB skrev:

Här är det jag tänker på:

Det första du bör göra är att skriva ut vad alla dina beteckningar betyder. Bara ett enkelt "Låt $f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$" gör allting mycket enklare att förstå. Försök även att hålla dig till beteckningarna i uppgiften. I uppgiften väljer man nämligen $v(x,y)$, inte $w(x,y)$.

Om vi börjar med att titta på imaginära delen: $h$ kommer alltid att gå mot 0 här, skriver bara inte ut det.

$f'(z)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(z+hi)- f(z)}{hi}=\frac{u(x+h,y)+wi(x+h,y)-(u(x,y)-wi(x,y)}{hi}$

$\dfrac{u(x+h,y)-u(x,y)+i(w(x+h,y-w(x,y))}{hi}=\dfrac{i(u(x+h,y)-u(x,y)+i(w(x+h,y)-w(x,y))}{h}$

• Om du lägger till $hi$ är det väl imaginärdelen (y) som borde öka med $h$, inte realdelen (x)?
• Varför är det ett minustecken framför $iw(x,y)$? Det är ju en parentes framför.
• Vad händer på andra raden? Varför försvinner $i$:et i nämnaren och dyker upp på den ena termen i täljaren?
• Hur leder dig detta till $-i\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}$? Det är ju särskilt underligt att derivatorna är med avseende på $y$ eftersom det står $u(x+h,y)$ och $w(x+h,y)$ i ditt uttryck.

Så alltså

$\dfrac{du}{dx} \pm \dfrac{dv}{dy}$

Vad betyder detta? Hur visar detta att derivatorna uppfyller Cauchy-Riemanns ekvationer? Det är viktigt att vara tydlig med att tydligt demonstrera att man kommit fram till det man ska visa.

Som jag förstår det använder du dig av en liknande strategi som Wikipedia gör. Då bör du vara uppmärksam på att detta visar att det är nödvändigt för en analytisk funktion att uppfylla Cauchy-Riemanns ekvationer, men inte det omvända, d.v.s. att en funktion är analytisk ifall den uppfyller Cauchy-Riemanns ekvationer (vilket du borde göra i och med att det står 'om och endast om' i uppgiften).

 Så när man kommer till att se om de uppfyller CR-ekvationer. Så

räcker det med all dessa ekvationer, "bara" att skriva

Ja, något liknande det där skulle du kunna ha som avslutning på beviset. Möjligtvis skulle man kunna motivera varför real- och imaginärdelarna är lika om man inte redan gjort det tidigare i beviset.

AlvinB skrev:

Ja, något liknande det där skulle du kunna ha som avslutning på beviset. Möjligtvis skulle man kunna motivera varför real- och imaginärdelarna är lika om man inte redan gjort det tidigare i beviset.

 Okej. =) Tack!

Men ja, varför är dom lika då? För de tar ut varanN?

mrlill_ludde skrev:

AlvinB skrev:

Ja, något liknande det där skulle du kunna ha som avslutning på beviset. Möjligtvis skulle man kunna motivera varför real- och imaginärdelarna är lika om man inte redan gjort det tidigare i beviset.

 Okej. =) Tack!

Men ja, varför är dom lika då? För de tar ut varanN?

 Nja, det är ju så att värdet du får när du närmar dig punkten parallellt imaginäraxeln måste vara samma som värdet du får när du närmar dig parallellt med realaxeln för att gränsvärdet skall existera. Du har säkert stött på det med gränsvärden inom flervariabelanalysen.

Däremot är det ju så att man kan närma sig en punkt från fler håll än bara parallellt med real- och imaginäraxlarna. Som jag sa i mitt första inlägg så betyder det att detta bevis inte är tillräckligt för att visa att en funktion som uppfyller Cauchy-Riemanns ekvationer också är analytisk, bara motsatsen, d.v.s. att en funktion som är analytisk uppfyller Cauchy-Riemanns ekvationer. Därför måste du finna något sätt att bevisa den andra delen av "om och endast om"-påståendet.