bevis baslösning optimal

Först och främst finns det en viktig sats som säger ungefär så här

"Existerar minst en optimal lösning till (standardformuleringen av) P så är minst en tillåten baslösning optimal"

Se din lärobok för exakt formulering och bevis av den.

Jag antar att ni använder uppställningen

$A\mathbf{x}=A_\beta \mathbf{x}_\beta + A_\nu \mathbf{x}_\nu=\mathbf{b}$

$z=\mathbf{c}_\beta^T\mathbf{b}_\beta+\mathbf{c}_\nu^T\mathbf{x}_\nu=\bar{z}+\mathbf{r}_\nu^T\mathbf{x}_\nu$

Om man antar att alla element i vektorn $\mathbf{r}_\nu$ är större än noll måste det gälla att

$\bar{z}\leq \bar{z}+\mathbf{r}^T_\nu\mathbf{x}_\nu$

Och för en tillåten baslösning gäller ju att $x_\nu\equiv 0$. Alltså är $\bar{z}=z$ då.

Med andra ord har man då lyckats optimera kostnadsfunktionen $z=\mathbf{c}^Tx$

Notera att du måste jobba vidare lite med problemet om $\mathbf{r}_\nu <0$ (Dvs om något element i vektorn är mindre än 0)

Då förstår jag. Blev lite förvirrad vad satsen tillförde utöver den viktiga satsen som du nämnde, men det finns ju flera baslösningar. Tack!