Bevis av ränta på ränta

Undersök numeriskt Gränsvärdet

$\lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} o c h a n v ä n d s e d a n r e s u l t a t e t f ö r a t t v i s a a t t \lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{p}{n})}^{n} = e^{p}$

Vilka slutsatser kan du dra av dina undersökningar?

Min lösning hittills:
$\lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{10 000})}^{10 000} = 2, 72 = e$

Längre än så här kommer jag inte. Jag såg en annan tråd här med förmodligen samma uppgift, men den var inte mycket till hjälp. Det jag behöver veta är hur jag ska använda mig av min lösning hittills för att bevisa $\lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{p}{n})}^{n} = e^{p}$

Tacksam för dumförklaringar, övertydlighet och minimalt med kryptiska svar!

$(1+\frac{p}{n})^n=((1+\frac{p}{n})^{n/p})^p$ När n/p går mot oändligheten har du gränsvärdet för e och det ska sedan höjas till p.

Hej!

Som Henrik Eriksson skrivit kan du skriva

$(1+\frac{p}{n})^{n} = (1+\frac{1}{m})^{m\cdot \frac{n}{m}}$

där $m = \frac{n}{p}.$ Det betyder att $\frac{n}{m} = p$ och potensregeln $a^{bc} = (a^b)^c$ låter dig skriva

$(1+\frac{p}{n})^n = ((1+\frac{1}{m})^m)^p \to e^p$ när $m\to\infty.$

Albiki

Albiki skrev :
Hej!
Som Henrik Eriksson skrivit kan du skriva
$(1+\frac{p}{n})^{n} = (1+\frac{1}{m})^{m\cdot \frac{n}{m}}$
där $m = \frac{n}{p}.$ Det betyder att $\frac{n}{m} = p$ och potensregeln $a^{bc} = (a^b)^c$ låter dig skriva
$(1+\frac{p}{n})^n = ((1+\frac{1}{m})^m)^p \to e^p$ när $m\to\infty.$
Albiki

För att ${(1 + \frac{1}{m})}^{m} = e$ så $e^{p} = {({(1 + \frac{1}{m})}^{m})}^{p}$ Har jag uppfattat korrekt?

Nej, det ska stå gränsvärde i båda dina ekvationer.

Henrik Eriksson skrev :
Nej, det ska stå gränsvärde i båda dina ekvationer.

aha, så

${(\lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n})}^{p} = \lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{p}{x})}^{x} d å x = n p \Rightarrow n = \frac{x}{p} \Rightarrow \frac{1}{n} = \frac{p}{x} s å l e d e s ä r \lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{p}{x})}^{x} = \lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} v i l k e t s k u l l e b e s v i s a s$

Tack så mycket för hjälpen!

Hur kommer ni fram till att x=np?

Vilka slutsatser kan dras av resultatet?

Jennifer123 skrev :
Hur kommer ni fram till att x=np?

Vilka slutsatser kan dras av resultatet?

x = np för att ${(a^{b})}^{c} = a^{b c}$ , så ${(\lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n})}^{p} = \lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n p} = \lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{x}$

Om du inte ser slutsatserna själv har du kanske inte förstått vad du räknat ut, men det har att göra med vad $e^{p}$ är för något

Svara

Visa senaste svar