Bevis av påstående

Funkar nog att köra rätt på och summera ihop alla delare till talet. Du kommer kanske kunna se ett mönster i summan.

Hjälper också om man vet att $\sum _{k=0}^n{2}^k = 2^{n+1}-1$ men det kanske inte ingår i matte 5.

Jag skulle börja med att lista alla delare till $2^n\left(2^{n+1}-1\right)$.  Ser du att du får en geometrisk talföljd? Och räcker det som ledtråd?

SvanteR skrev:

Jag skulle börja med att lista alla delare till $2^n\left(2^{n+1}-1\right)$.  Ser du att du får en geometrisk talföljd? Och räcker det som ledtråd?

Tack för tipset, ska se om jag löser den nu :)

cjan1122 skrev:

Funkar nog att köra rätt på och summera ihop alla delare till talet. Du kommer kanske kunna se ett mönster i summan.

Hjälper också om man vet att $\sum _{k=0}^n{2}^k = 2^{n+1}-1$ men det kanske inte ingår i matte 5.

Är det tänkt att jag ska bestämma ett värde på n eller ska jag göra ett generellt bevis för att detta stämmer?

Ett generellt bevis!

SvanteR skrev:

Jag skulle börja med att lista alla delare till $2^n\left(2^{n+1}-1\right)$.  Ser du att du får en geometrisk talföljd? Och räcker det som ledtråd?

Jag har nu försökt lösa detta på olika sätt men kommer inte någon vart. Skulle du kanna hjälpa mig att komma igång? Jag ser inte den geometriska talföljden förutom att k kanske är 2^n.

Testa med ett heltal. Om man sätter n = 4 så får vi talet $2^4\left(2^5-1\right)=2^4\left(32-1\right)=2^4*31$

31 är ett primtal, så n = 4 uppfyller villkoret i uppgiften. Vilka delare har vi? Jo 31 kan bara delas med 31 och 1, för det är ett primtal. 2⁴ kan delas med 2⁰=1, 2¹=2, 2²=4, 2³=8 och 2⁴=16

Summan av delarna kan alltså skrivas som 2⁰+2¹+2²+2³+2⁴+(2⁵-1)

Kan du komma vidare nu? (Använd formeln för en geometrisk summa!)

SvanteR skrev:

Summan av delarna kan alltså skrivas som 2⁰+2¹+2²+2³+2⁴+(2⁵-1)

Nja, alla kombinationer av en tvåpotens och $2^{n+1}-1$fungerar ju också. Dessutom får man komma ihåg att 1 alltid är en delare. Om man ska summera alla delare får man (i det generella fallet):

$\underset{2^{n+1}}{\underbrace{1+(2^{n+1}-1)}} + \underset{2^{n+2}}{\underbrace{2+2*(2^{n+1}-1) }+ }$$\underset{2^{n+3}}{\underbrace{2^2+2^2*(2^{n+1}-1)}}$$+ ... + \underset{2^{2n}}{\underbrace{2^{n-1}+2^{n-1}*(2^{n+1}-1)}}+2^n$

Om du flyttar sista termen blir summan av alla delare $2^n+2^{n+1}+...+2^{2n}$. Kan du uttrycka denna summa på ett annat sätt?