Bevis av en olikhet

Edit: fixade några slarvfel.

Uppgiften lyder:

Visa att 

               $xy+2x^2{y}^2\le x^2+y^2+x{y}^3$

för alla $0\le x\le 1$, $0\le y\le 1$

Så länge har jag utfört ett bevis men vet inte om den är giltig eller godtagbar och har problem med att identifiera vilket typ av bevis den är (motsägelse, direkt, eller något annat). Jag tycker att den är direktbevis.

Detta är beviset:

$xy+2x^2{y}^2\le x^2+y^2+x{y}^3\iff 2x^2{y}^2-x{y}^3\le x^2+y^2-xy\iff 2x^2{y}^2-x{y}^3\le {(x-y)}^2+xy$

$2x^2{y}^2-x{y}^3-xy\le {(x-y)}^2$

${(x-y)}^2$ kommer alltid att vara positivt om inte 0 eftersom den är en kvadrerad polynom. Man kan då inse att 

${{(x-y)}^2}_{min}=0$ och ${{(x-y)}^2}_{max}=1$ (då x=0 och y=1 eller tvärtom). Alltså värdet för ${(x-y)}^2$ ligger i intervallet ]0, 1[.

Påstående:

 Uttrycket $2x^2{y}^2-x{y}^3-xy$ kommer aldrig att bli positivt. Alltså $x{y}^3+xy\ge 2x^2{y}^2$

$x{y}^3+xy\ge 2x^2{y}^2\iff y^2+1\ge 2xy\iff \frac{y^2+1}{y}\ge 2x\iff \frac{1}{y}+y\ge 2x$

Det största värdet som 2x kan anta i detta fall är 2 och den minsta 0 ($0\le x\le 1$), $\frac{1}{y}+1$, å andra sidan, har minimivärde 2 då y=1 och uttryckets värde växer oändligt ju mindre y blir, alltså, olikheten $x{y}^3+xy\ge 2x^2{y}^2$ är sant och däremot är påståendet att $2x^2{y}^2-x{y}^3-xy\le 0$ bevisad.

Med påståendet bevisad vet man att vänsterledet i olikheten $2x^2{y}^2-x{y}^3-xy\le {(x-y)}^2$ har maximivärdet 0, däremot är minimivärdet mindre än eller lika med 0. Eftersom högra ledet har alltid ett värdet som är antingen större eller lika med den som vänsterledet får så kan man säga att högerledet är alltid större än eller lika med vänsterledet. Däremot är uppgiften bevisad. V.S.B.