Bevis av binomialkoefficienter

Hej!
Jag ska bevisa $\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n\\ n-k\end{array}\right). För n,k\in \mathrm{\mathbb{Z}}, n\ge k$

Härledning är att jag ska använda mig av definitionen av binomial koefficienter, som säger att n och k ska vara två icke-negativa heltal. Där $\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$. 

När jag utvecklade både VL och HL för likheten jag skulle bevisa, fick jag exakt samma uttryck på båda sidor: 

$\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n\\ n-k\end{array}\right)=\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{n!}{(n-(n-k)!)n-k!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$. 

Och eftersom jag då skulle bevisa detta, så tänkte jag att jag kunde använda mig av induktion, då n och k är två icke-negativa heltal.

Så jag gjorde basfallet: n=0, vilket då gav HL=VL:

$\frac{0!}{(0-k)!k!}=\frac{0!}{(0-k)!k!}$

Sedan gjorde jag induktionsantagandet: 

n=p och fick då $\frac{p!}{(p-k)!k!}=\frac{p!}{(p-k)!k!}$

Sedan beviset där jag använde tankesättet: $H{L}_p+V{L}_{p+1}=H{L}_{p+1}$

Alltså om då induktionsprincipen stämmer borde detta stämma: 

$\frac{(p+1)!}{\left(\right(p+1)-k)!\times (p+1)!}+\frac{p!}{(p-k)!k!}=\frac{(p+1)!}{\left(\right(p+1)-k)!(p+1)!}$

Så jag utvecklade detta, genom att sätta bråken på samma nämnare, och sedan eliminera lika termer i både täljare och nämnare. Fick det till: $p!\times (p+1)!$ vilket då inte stämmer överens med likheten ovan. 

Det jag undrar är om jag tänkt helt fel när jag skulle bevisa det? Eller vad det är jag gör fel? Tankesättet har funkat när jag gjort andra induktionsbevis, därav tänkte jag att jag kunde använda mig av det även här.