Bevis av √2
Hej!
Jag förstår inte riktigt resonemanget med den här frågan:
√2 är ett irrationellt tal, dvs kan inte skrivas som ett rationellt tal ab.
(a och b är heltal, b≠0)
Beviset är ett klassiskt motsägelsebevis.
Anta att √2=ab där a och b är heltal och ab är förkortat så långt det går.
Kvadrering av uttrycket ger: 2=a^2b^2, vilket ger 2b^2=a^2 dvs a^2 och a är delbara med 2.
Sätter vi a=2k ger det 2b^2=4k^2 vilket kan skrivas b^2=2k^2, dvs också b måste vara delbart med 2.
Vi får en motsägelse mot vårt antagande, √2 måste vara irrationellt.
a)Förklara varför både a^2 och a är delbart med 2 om 2b^2=a^2 (a och b är heltal).
b)Varför får vi en motsägelse?
Tack för hjälp!
Hur långt har du kommit själv? Det står i Pluggakutens regler att du skall visa hur du har försökt och hur långt du har kommit. /moderator
Hej! Inte långt alls. Mitt primära problem var nog att jag inte riktigt förstår hur jag ska börja tolka frågan. Eller varför man i frågan gör som man gör.
Men nu har jag tittat lite mer på frågan och förstår varför a och a^2 är jämnt vilket är för att de är delbara med 2. Alla heltal som är delbara med 2 måste vara jämna, ett udda tal som delas med 2 är ≠ helt heltal.
a = 2k är en substitution vilket leder till att 2k*2k = 4k^2 i ekvationen. Delar man det med 2 så blir ju b^2 också jämnt med två.
Men jag förstår inte varför det leder till en motsägelse? Hur uttrycker man motsägelsen?
Du måste ha skrivit av uppgiften lite fel, eller hur? Visst stod det att " där a och b är heltal och a/b är förkortat så långt det går"?
Du har allså kommit fram till att aär ett jämnt tal och att b är ett jämnt tal. Det borde allså gå att förkorta kvoten a/b med två, eller hur?
Vad var det det stod om kvoten a/b i förutsättningarna?
Ja, förlåt. Det måste ha blivit fel när jag copy paste frågan. ab ska vara i bråkform så som du har skrivit det (a/b).
Så a och b är jämna tal och det ska gå att förkorta kvoten med a/b med 2.
Innebär det att b = 0? och därför är det en motsägelse? Eftersom man inte kan ha ett bråk där nämnaren är noll.
Nej. Du har kommit fram till att både a och b är jämna tal, d v s båda är delbara med 2. Samtidigt har vi från förutsättningarna att a/b är förkortat så långt det går, d v s att de inte har några gemensamma faktorer (t ex inte faktorn 2). Ser du motsägelsen?
Så motsägelsen är att frågan utgår ifrån att bråket a/b är förkortat så långt det går, men ändå kan man i beviset dela bråket med 2 eftersom båda talen är jämna?
Sen kom jag på en fråga till. I frågan står det att 2=a^2b^2, ger 2b^2=a^2. Varför divideras inte 2 med b^2 när man flyttar över till andra sidan om =?
emhe skrev:Så motsägelsen är att frågan utgår ifrån att bråket a/b är förkortat så långt det går, men ändå kan man i beviset dela bråket med 2 eftersom båda talen är jämna?
Ja det stämmer. Motsägelsen är att bråket inte kan vara förkortat så långt det går.
Sen kom jag på en fråga till. I frågan står det att 2=a^2b^2, ger 2b^2=a^2. Varför divideras inte 2 med b^2 när man flyttar över till andra sidan om =?
Det står väl inte så i frågan, det står väl att 2 = a^2/b^2?
Se där, även det blev borttappat när jag copy + paste. Men då förstår jag! Tack så mycket för er hjälp!
