Bevis

motsägelsebevis (Proof by contradiction) betyder att vi antar att motsatsen är sann. 

Exempelvis:

Påstående: Det existerar inga heltal $a$ och $b$ för vilket $18a+6b=1$

Nu kan vi använda ett motsägelsebevis:

Antag istället att det existerar ett sådant $a, b$ så att $18a+6b=1$. 

Dividerar vi med 6 erhålls: $3a+b=\dfrac{1}{6}$, men om $a$ och $b$ är heltal är det inte möjligt att HL är ett bråk. Detta är alltså en motsägelse. Vårt påstående att det existerar ett sådant $a,b$ var alltså falskt, därav är påståendet sant.

Detta klassas också som ett indirekt bevis. Det finns mer än en typ av indirekt bevis. Ett till exempel på ett indirekt bevis är ett så kallat kontrapositivt bevis. Skillnaden här är alltså att ett motsägelsebevis är ett indirekt bevis, medan ett indirekt bevis inte nödvändigtvis behöver vara ett motsägelsebevis.

Hänger du med?

Jag hittade den här gamla tråden: https://www.pluggakuten.se/trad/vad-ar-egentligen-skillnaden-mellan-proof-by-contradiction-och-proof-by-contrapositivity/

Dracaena skrev:

motsägelsebevis (Proof by contradiction) betyder att vi antar att motsatsen är sann. 

Exempelvis:

Påstående: Det existerar inga heltal $a$ och $b$ för vilket $18a+6b=1$

Nu kan vi använda ett motsägelsebevis:

Antag istället att det existerar ett sådant $a, b$ så att $18a+6b=1$. 

Dividerar vi med 6 erhålls: $3a+b=\dfrac{1}{6}$, men om $a$ och $b$ är heltal är det inte möjligt att HL är ett bråk. Detta är alltså en motsägelse. Vårt påstående att det existerar ett sådant $a,b$ var alltså falskt, därav är påståendet sant.

---

Detta klassas också som ett indirekt bevis. Det finns mer än en typ av indirekt bevis. Ett till exempel på ett indirekt bevis är ett så kallat kontrapositivt bevis. Skillnaden här är alltså att ett motsägelsebevis är ett indirekt bevis, medan ett indirekt bevis inte nödvändigtvis behöver vara ett motsägelsebevis.

Hänger du med?

Tack, jag hängde med.

Men fattar inte riktigt vad som menas med " Med indirekt bevis visar man att om slutsatsen är falsk så är också antagandet falskt." 

Om det t.ex står "det är fredag" "jag äter pizza då" är då det indirekta beviset "jag åt inte pizza" eftersom "det inte är fredag" och sedan ska man visa att jag "inte åt pizza" vilket medför att "det inte är fredag"? 

Är det ett indirekt bevis då? (Hoppas det inte blev rörigt)

Ett indirekt bevis är att bevisa att alla andra alternativ är falska. 

Om vi har en hypotes, så bevisar vi det motsatta till hypotesen för att försöka hitta en motsägelse.

Ett direkt bevis utgår ifrån hypotesen och försöker mha logik bevisa att det är sant.

Exempel,

Hypotes: summan av två jämna heltal är jämnt.

Direkt bevis:

Kalla de två jämna talen x och y. Eftersom de är jämna kan vi uttrycka dessa två talen enligt:

$x=2a$

$y=2b$

Summan: $x+y=2(a+b)=2p$, för $p=a+b$. 2 delar 2p. Det följer alltså att påståendet är sant.

Ser du skillnaden? 

Kanske den här sidan från Matematik Origo 4 kan vara till hjälp?

Tack för er hjälp. 

När man ska göra ett indirekt bevis, hur vet man hur mycket man ska "vrida" på det till motsatsen? 

Exempel: Om produkten av två positiva reella tal är större än 100 medför det att minst en av faktorerna är större än 10.

Det ovan är påståendet. Sedan ska jag vända på det och ta motsatsen. Men om vi börjar med det som är i fetstil, hur vet jag vad det är jag ska ta motsatsen av? Är det

Produkten-division 

Två positiva - många negativa 

Större än 100 - mindre än 100 

Är det alla? 

Hur vet jag vart "gränsen" går?

Jag tänker så här, men det här med bevis är inte så lätt så ta det jag skriver med "en nypa salt".

Ett indirekt bevis: Ingen av faktorerna är > 10.

$a·b>100$

$a>\frac{100}{b}$om b< 10 så är a> 10 vilket bevisar att påståendet att "Ingen av faktorerna är > 10" är falskt och alltså är påståendet "minst en av faktorerna är större än 10" sant.

ConnyN skrev:

Jag tänker så här, men det här med bevis är inte så lätt så ta det jag skriver med "en nypa salt".

Ett indirekt bevis: Ingen av faktorerna är > 10.

$a·b>100$

$a>\frac{100}{b}$om b< 10 så är a> 10 vilket bevisar att påståendet att "Ingen av faktorerna är > 10" är falskt och alltså är påståendet "minst en av faktorerna är större än 10" sant.

I facit står det " Om inget av två positiva reella tal är större än 10 medför det att produkten är mindre än eller lika med 100" (Om man skulle vända på P och Q med ord) 

Med tal står det i facit 

X och y är positiva reella tal.

-Q : 0 ≤ x ≤ 10        och.    0 ≤ y ≤ 10

-P : xy ≤ 100

Sedan själva beviset: 

0 ≤ x 10 och 0 ≤ y ≤ 10   ----> xy ≤ 100

Nu har jag två frågor

1.  Hänger inte fullt med på beviset men vet inte riktigt vart det är som gör det luddigt. Tror det är att man vänder på P och Q och att man valt separera på x och y som snurrar detför mig.

2. En mer allmän fråga - hur tänker man huruvida det gäller "hur mycket" man ska "vända på" påståendena? Finns det någon tumregel? Eller är det genom mängdträning och förståelse för olika formler bara? 

Hur är frågan formulerad från början?

P Q dyker upp som gubben i lådan i facit? De måste ha omnämnt dem tidigare?

ConnyN skrev:

Hur är frågan formulerad från början?

P Q dyker upp som gubben i lådan i facit? De måste ha omnämnt dem tidigare?

Givetvis! Glömde skriva av hela... Frågan lyder 

" Om produkten av två positiva reella tal är större än 100 medför det att minst en av faktorerna är större än 10."  Satsen ovan är skriven på formen P --> Q

A) formulera med ord satsen - Q --> -P

B) formulera med matematiska symboler - Q --> - P

C) bevisa med ett indirekt bevis att P --> Q

OK då var det lite lättare att förstå.
Om vi börjar med A) $\neg Q-->\neg P$

Det ska väl vara icke-tecken, $\neg$före P och Q?
Hur har du formulerat meningen?

Mitt försök till tolkning $P=a·b >Q$är grundsatsen och sedan kommer A) Icke Q är större än icke P
Det här känner jag mig osäker på så rätta mig gärna om jag har fel.

Tillägg: 8 jul 2023 16:20

"Mitt försök till tolkning" är helt fel ser jag nu. Se mitt senare inlägg nedan.

Jag har kollat igenom facit och dina svar. Jag tror att jag förstått det nu. Tack.

1. Men en sak som jag fortfarande känner mig osäker kring är "hur mycket" man ska "vända" på det (alltså vad som ska bli motsatsen för att kunna utföra ett indirekt bevis)

Ytterligare en fråga jag har är

2. Hur vet man vilken som är P och Q? 

Kan man tänka att: 

Efter det står "medför att" så är det Q?

Om vi börjar med fråga 2 då den är väsentlig för att förstå fråga 1.

" Om produkten av två positiva reella tal är större än 100 medför det att minst en av faktorerna är större än 10."  Satsen ovan är skriven på formen P --> Q

Här står det a x b > 100 där a och b är två positiva reella tal.
Sedan står det att satsen är skriven på formen $P\Rightarrow Q$
Då betyder det att P säger att a x b > 100 och Q säger att en av faktorerna, a eller b, är större än 10.

Nu till fråga ett.
Direkt bevis är $P\Rightarrow Q$

Indirekt bevis är då $\neg Q\Rightarrow \neg P$

Så svar på din fråga ett är att man vänder på påståendet vid ordet medför.
Svar på fråga två är att P står före medför och Q är det som står efter medför.

Rättelse: Oj förlåt det var ju det du skrev "Efter det står "medför att" så är det Q?" Precis rätt!