Visa att ett tal är udda om talet i kvadrat är udda (Matematik/Matte 4)

Det som ska bevisas är : Alla heltal vars kvadrat är udda är själva udda.

Det knepiga kan vara kraven på hur?

Ett direkt bevis skulle kunna utgå från att $x^{2}$ inte är delbart med 2 och är inte lätt att göra ...

Hmm.. Jag förstår inte riktigt vad du menar. Kan du ge exempel på det du menar..? Eller kanske förklara på ett annat sätt?

OK Hint: Vad gäller för kvadraten på ett jämnt tal? Udda eller jämn?

Katarina, du vet vid det här laget att du skall ge dina trådar en beskrivande rubrik. "bevis" säger inte så värst mycket om vad tråden innehåller. ett förslag är: "Visa att ett tal är udda om talet i kvadrat är udda". /Moderator

matsC skrev:
OK Hint: Vad gäller för kvadraten på ett jämnt tal? Udda eller jämn?

vi kan testa.

4^2=16

16 är ett jämnt tal.

5^2=25

25/2=17,5

6^2=36

36/2=18

7^2=49

49/2=24,5

osv. Alla tal är inte jämna som vi kan se

Fast om ursprungstalet är jämnt då ...

kan det skrivas som 2n som blir $4 n^{2}$ nät det kvadreras som är vädigt jämnt

Men vad är det som blir udda?

Bland din exempel blev ju 5 och 7 udda när de kvadrerades

Udda tal kan ju alltid skrivas som 2n+1 och om du kvadrerar det så blir det $4 n^{2} + 4 n + 1$ så kvadraten är också udda.

Återstår att vända på steken och utgå från en udda kvadrat

Förlåt 3 och 5 blir ju inte udda när de kvadreras det är de ju från början det skulle ha stått blir kvadraten udda.

Okej men i den talföljden som jag ”skrev” så fick vi både udda och jämna talföljd

Javisst men det berodde på att du hade blandat jämna och udda utgångsvärden - separera dem så ser du.

Jämna tal är tal som delas med 2 och som blir inte positiva heltal. Udda tal blir inte positiva heltal när man delar de med 2

Sant. Och det betyder att om talet n är jämnt så är det = 2*k där k är ett heltal och om n är udda så är det = 2k+1 för något heltal k

Okej, hur kan detta användas i beviset?

Udda: 2n + 1

Jämnt: 2n

${(2 n + 1)}^{2} = 4 n^{2} + 4 n + 1 = 2 (2 n^{2} + 2 n) + 1 K a l l a 2 n^{2} + 2 n f ö r a, a \in ℤ {(2 n + 1)}^{2} = 2 (2 n^{2} + 2 n) + 1 = 2 a + 1$

Detta vet vi är udda för alla $a \in ℤ$

Kan du beskriva med ord vad du beräknar?

Kvadraten av ett udda tal (2n + 1) resulterar i något som går att få på formen (2a + 1) för ett godtyckligt a. Som även det är udda.

Fast det som ska bevisas är att om kvadraten är udda så är talet udda och då hjälper det inte att veta att udda tal ger udda kvadrater.

Däremot om man kan bevisa att jämna tal ger jämna kvadrater så är man nästan framme.

Som av en händelse finns det ett sånt bevis i tråden....

är beviset att

om (2n+1) är ett udda tal, då är (2n+1)^2 också ett udda tal?

Nej. Vi utgår från ett tal, vi vet inte om talet är udda eller jämnt så därför måste vi visa resultatet för både jämnt oxh udda.

Och hur kan man göra det?

Vi vet följande.

Ett tal kvadrat, låt kalla talet x är udda. Dvs:

x² är udda. Vi vill visa att x då måste själv vara udda. Hue gör vi det?

Ja, om vi kan visa att ert jämnt tal kvadrat blir jämnt (för det blir det) och udda tal udda är vi i mål.

Ett jämnt tal kan skrivas som $2k$ och udda $2k+1$ , är du med på det? Om inte, säg till.

Låt oss bärja med udda talet.

$(2k+1)^2=4k^2+4k+1=4(k^2+k)+1 \implies$ talet är udda.

Låt oss kolla fallet om

$x=2k \implies x^2=4k^2 \implies$ inte udda.

Dvs, talet x måste ha varit udda, annars kan inte kvadraten ha varit udda.

Är du med?

Jag är inte med på uträkningen , dvs förstår inte uträkning från den här delen av din lösning

”

Låt oss kolla fallet om

x=2k⇒x2=4k2⇒x=2k⇒x2=4k2⇒ inte udda.

Dvs, talet x måste ha varit udda, annars kan inte kvadraten ha varit udda. ”

Om x är jämnt, är talet på form $2k$ , dvs 2* vilket tal som helst.

Om vi kbadrerar detta får vi $4k^2$ men detta betyder att x är jämnt eftersom den har en faktor 4 som är samma sak som 2².

Förlåt mig men jag hänger fortfarande inte med på din förklaring. Din sista förklaring blir jag förvirrad av :(

Okej, säg till vilken punkt som inte helt klickar!

Om x är jämnt så kan vi skriva det som $2k$
Om $x=2k$ (alltså jämnt) blir kvadraten $4k^2$
Eftersom $4k^2=2(2k^2)$ är detta delbart med 2
Ett tal delbart med 2 är alltid jämnt
Detta betyder att x inte kan ha varit jämnt eftersom då blir kvadraten jämnt.

Steg 5 hänger jag inte med på. Hur hänger det här beviset med udda tal?

Vi utgår från att vi har ett tal i kvadrat, dvs vi vet att $x^2$ är udda och vi ska visa att då måste $x=2k+1$ dvs udda. Men för att försäkra oss om detta måste vi först visa att om x är udda blir kvadraten udda, sen måste vi visa att om x var jämnt så blir det jämnt för om det hade blivit udda så kan vi inte vara säkra att x var udda från första början.

Alla jämna tal har jämna kvadrater (steg 1-4 ovan) alltså är det sökta talet inte jämnt och då finns det inte så mycket att välja på annat än udda tal.

Alla heltal som inte är jämna är ju udda.

( Jag är rädd för att detta inte är omvänd negerad implikation man kanske dess mängdteoretiska motsvarighet )