Bevis

Prova att kvadrera $\frac{1+\sqrt{5}} {2}$. 

Det blir (3 + sqrt(5))/2 och jag har försökt trixa med det men jag kommer ingen vart!

Dra då roten ur din sista olikhet.

Börja med att skriva om problemet på en mer hanterbar form (nedan). Antag sedan att $a_n$ är mindre än $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Försök därefter att visa att även $a_{n+1}$är mindre än $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Eftersom olikheten per definition gäller för $a_1$måste den ju även gälla för alla efterföljande heltal n.

Aha, skulle man kunna säga att följande bevisar det?

Låt oss utgå från att a(n) < (1 + sqrt(5)) / 2

Då kan vi lösa ut a(n) från definitionen och få

a(n+1)^2 - 1 < (1 + sqrt(5))/2

a(n+1)^2 < (3 + sqrt(5))/2

a(n+1) < sqrt( (3 + sqrt(5)) / 2 ) = (1 + sqrt(5) ) / 2

Så om a(n) < (1 + sqrt(5))/2, då gäller även a(n+1) < (1 + sqrt(5))/2

Då återstår bara att se att det gäller för 1, för då kommer det att gälla för alla heltal.

a(n) = a(1) = 1 < (1 + sqrt(5)) / 2

ty 2 < (1 + sqrt(5))

ty 1 < sqrt(5)

ty 1 < sqrt(4) = 2