5 svar
125 visningar
EulerWannabe 189
Postad: 12 maj 2021 19:34

Bevis

Jag håller på och försöka lösa a).

Jag googlade lite på 1 + sqrt(5) / 2 och det verkar ha med Fibonacci att göra. Men jag förstod inte riktigt.

Jag har försökt att jobba lite baklänges genom

an < (1 + sqrt(5)) / 2

an+1 ^2 - 1 = < (1 + sqrt(5)) /2

tills jag kommer till

an+1 < sqrt((3 + sqrt(5)) / 2)

Men sen fastnar jag .

Jag undrar om någon skulle vilja hjälpa mig lite på traven här. Tusen tack!

Laguna 30251
Postad: 12 maj 2021 20:19

Prova att kvadrera 1+52\frac{1+\sqrt{5}} {2}

EulerWannabe 189
Postad: 12 maj 2021 23:01

Det blir (3 + sqrt(5))/2 och jag har försökt trixa med det men jag kommer ingen vart!

Laguna 30251
Postad: 13 maj 2021 08:42

Dra då roten ur din sista olikhet.

Laplace 16 – Fd. Medlem
Postad: 13 maj 2021 09:37

Börja med att skriva om problemet på en mer hanterbar form (nedan). Antag sedan att an är mindre än 1+52. Försök därefter att visa att även an+1är mindre än 1+52. Eftersom olikheten per definition gäller för a1måste den ju även gälla för alla efterföljande heltal n.

EulerWannabe 189
Postad: 13 maj 2021 11:16

Aha, skulle man kunna säga att följande bevisar det?

 

Låt oss utgå från att a(n) < (1 + sqrt(5)) / 2

Då kan vi lösa ut a(n) från definitionen och få

a(n+1)^2 - 1 < (1 + sqrt(5))/2

a(n+1)^2 < (3 + sqrt(5))/2

a(n+1) < sqrt( (3 + sqrt(5)) / 2 ) = (1 + sqrt(5) ) / 2

Så om a(n) < (1 + sqrt(5))/2, då gäller även a(n+1) < (1 + sqrt(5))/2

Då återstår bara att se att det gäller för 1, för då kommer det att gälla för alla heltal.

a(n) = a(1) = 1 < (1 + sqrt(5)) / 2

ty 2 < (1 + sqrt(5))

ty 1 < sqrt(5)

ty 1 < sqrt(4) = 2

Svara
Close