Bevis

aplusb skrev:

Hej,

Följande uppgift (1511; Matematik 5000; kurs 4),

”Visa att om A är en vinkel med 0˚<A<90˚så är (1+1/sinA)(1+1/cosA) > 5.”

Med distributiva lagen får man:

1+1/cosA+1/sinA+1/sinA*cosA. Förenkling och dubbla vinkelsatsen ger:

1+1/cosA+1/sinA+2/sin2A. Eftersom cosA, sinA och sin2A har maxvärde=1, får man följande ekvation:

1+1/1+1/1+2/1 = 5.

Fråga: Hur är detta bevis att om A är en vinkel med 0˚<A<90˚så är (1+1/sinA)(1+1/cosA) > 5?

Du är nära men inte riktigt framme tycker jag.

Eftersom sin(A) är > än 0 och < 1 i intervallet så är 1/sin(A) >1 (Du delar 1 med ett tal som är mindre än 1.)

Samma gäller för 1/cos(A)

För 2/sin(2A) gäller att den termen alltid > 2

Därmed är summan > 5

Hej,

Förstår precis, tack för utförlig förklaring.

$$\begin{gathered} (1+\frac{1}{\sin a})(1+\frac{1}{\cos a})>5 \\ \mathrm{lös} \mathrm{ekvationen} \mathrm{givet} \mathrm{att} 0>\mathrm{a}>90 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} (1+\frac{1}{\sin a})(1+\frac{1}{\cos a})=\left(\frac{\sin a+1}{\sin a}\right)\left(\frac{\cos a+1}{\cos a}\right)= \\ \frac{(\sin a+1)(\cos a+1)}{\sin a\cos a}=\frac{\sin a\cos a+\sin a+\cos a+1}{\sin a\cos a} \\ ⋮ \\ \frac{\sin a\cos a+\sin a+\cos a+1}{\sin a\cos a}>5 \\ \sin a\cos a>0 i intervallet \\ \sin a\cos a+\sin a+\cos a+1>5\sin a\cos a \\ \sin a+\cos a+1>4\sin a\cos a \\ ⋮ \\ \sin a+\cos a=\sqrt{2}\sin (a+\frac{\mathrm{\pi }}{4}) \\ \sin a\cos a=\frac{\sin 2a}{2} \\ ⋮ \\ \sqrt{2}\sin (a+\frac{\mathrm{\pi }}{4})+1>2\sin 2a \\ {y}_1=\sqrt{2}\sin (a+\frac{\mathrm{\pi }}{4})+1 \\ {y}_2=2\sin 2a \end{gathered}$$

Två funktioner som vi kan rita för hand givet 0>a>90 vilket gör att ekvationen kan lösas grafiskt.

Olikheten är sann för alla 0<a<90