Bevis

Du kan nog använda olika bevismetoder här, men det lättaste är nog att konstatera att eftersom tre är ett primtal, måste faktorn tre finnas i n, om den finns i n². 

pepparkvarn skrev:

Du kan nog använda olika bevismetoder här, men det lättaste är nog att konstatera att eftersom tre är ett primtal, måste faktorn tre finnas i n, om den finns i n². 

Men har jag inte visat det åt andra hållet då? Här skulle jag väl visa att om n^2 är jämt delbart med 3 så måste gälla att n är det

Ett direkt bevis funkar: Om n² är delbart med 3, så kan man skriva n² som 3k. Om 3k är ett kvadrattal, så kan man skriva 3k som 3²m. Om n²=3²m så är $n=3\sqrt{m}$

Ett indirekt bevis innebär (i det här fallet) att visa att om n inte är delbart med 3, så är inte n² delbart med 3. Den metoden borde också funka. (Att visa att om n är delbart med 3 så är n² delbart med 3 bevisar inte antagandet utan omvändningen, precis som du påpekar.)

Nej, tvärtom. Om det finns en trea i $n^2$, vilket det måste göra eftersom det är delbart med tre, måste den trean ha funnits i n också. Om $n^2$ hade varit delbart med fyra hade detta inte gällt, eftersom $4=2\cdot2$, men tre är ett primtal och det måste därför gälla. (Det gäller fler tal än bara primtal, men primtal är garanterat uppfyllda)

Smaragdalena skrev:

Ett direkt bevis funkar: Om n² är delbart med 3, så kan man skriva n² som 3k. Om 3k är ett kvadrattal, så kan man skriva 3k som 3²m. Om n²=3²m så är $n=3\sqrt{m}$

Ett indirekt bevis innebär (i det här fallet) att visa att om n inte är delbart med 3, så är inte n² delbart med 3. Den metoden borde också funka. (Att visa att om n är delbart med 3 så är n² delbart med 3 bevisar inte antagandet utan omvändningen, precis som du påpekar.)

n≠ 3k där k är ett heltal. Och att n^2 ≠ 9k^2  , alltså att n^2 inte är delbart med 3 då heller. Funkar detta resonemang?

Var inte så kortfattad. Berätta att du tänker genomföra ett indirekt bevis innan du börjar göra det. Genomför beviset ordentligt - du har bara skissat det nu.

Smaragdalena skrev:

Var inte så kortfattad. Berätta att du tänker genomföra ett indirekt bevis innan du börjar göra det. Genomför beviset ordentligt - du har bara skissat det nu.

Om jag skriver såhär då:

Med ett indirekt bevis kan vi formulera oss att om n inte är delbart med 3 så måste gälla att n^2 inte är delbart med 3.

om vi utgår ifrån att n≠3k dvs att n inte är delbart med 3 och där k tillhör heltalen.

Detta ger då att n^2 ≠ 9k^2, dvs att n^2 inte heller heller är delbart med 3. Talet 9 är delbart med 3 men n^2 är frånskilt 9k^2, och är alltså inte delbart med 3

Vi kan då dra slutsatsen om n inte är delbart med 3 så måste gälla att n^2 inte är delbart med 3. Vi kan då även dra slutsatsen att om n^2 är delbart med 3 så måste gälla att n är delbart med 3. Detta eftersom dessa två utsagor är logiskt ekvivalenta.

Du har inte visat att n² inte är delbart med 3 om n inte är delbart med 3, du har bara påstått att det är så (visserligen har du rätt i det, men det är inget bevis). Du har två olika fall att undersöka: n=3k+1 och n=3k+2, alternativt n=3k+1 och n=3k-1 om du föredrar det.

Smaragdalena skrev:

Du har inte visat att n² inte är delbart med 3 om n inte är delbart med 3, du har bara påstått att det är så (visserligen har du rätt i det, men det är inget bevis). Du har två olika fall att undersöka: n=3k+1 och n=3k+2, alternativt n=3k+1 och n=3k-1 om du föredrar det.

Tack det var mer förståligt! Nu kan jag nog visa detta

Erika1267 skrev:

Visa att om n^2 är jämnt delbart med 3, så är även n det. 

Ska jag använda ett direkt bevis här eller ett indirekt bevis?

Vet inte om detta stämmer men tänkte vid en indirekt bevis kanske man kan skriva att n≠ 3k där k är ett heltal. Och att n^2 ≠ 9k^2  , alltså att n^2 inte är delbart med 3 då.

Eller kan jag använda ett direkt bevis och säga att n^2 = 9k och att n= 3√k?

Ifall vi kan bevisa att ifall n inte är delbar med 3 så är inte n^2 delbart med 3 är vi klara

Vi har olika fall, antigen $n=3p$ eller $n=3p+1$ eller $n=3p+2$

fall(1) $n=3p+1\to n^2={\left(3p+1\right)}^2=9p^2+6p+1$ i detta fall är n^2 inte delbar med 3

fall(2) $n=3p+2\to n^2={\left(3p+2\right)}^2=9p^2+12p+4$ även i detta fall är n^2 inte delbar med 3

och fall(3) n=3p är n^2 uppenbart delbar med 3. Alltså måste n vara delbar med tre om n^2 är delbar med 3 

Om MN är delbart med ett primtal p så måste åtminstone ett av talen ha p som en primtalsfaktor. (känd sats som jag glömt namnet på)

Således om nn är delbart med 3 så är även n delbart med 3.