Bevis

Utnyttja ett motsägelsebevis! :D

Detta motsägelsebevis bevisar att samma tal a inte är irrationellt konstant. Vilket gör att a inte är irrationellt och därför inte a+b.

Läste lite om motsägelsebevis, detta innebär alltså att P—>Q gäller, eller har jag fel? Med detta motsägelsebevis har jag bevisat att, om a eller b är irrationellt är a+b irrationellt.

(tror att jag formulerat mig fel, ganska säker på det också…ska läsa på lite om MB)

Det ser rätt ut!

Utan inskränkning av generalitet kan man som du gjorde antaga att $a$ är irrationell medan $b$ är rationell (i annat fall utför man namnbyte mellan $a$ och $b$).

Påstående $P$: $a$ är irrationell medan $b$ är rationell.

Påstående $Q$: $a+b$ är irrationell.

Ditt mål är att visa att $P \Rightarrow Q$ är sant. Om man ska gå tillväga genom motsägelsebevis ska man visa att situationen $P \wedge \neg Q$ är falskt, dvs. leder till en motsägelse. (Det är faktiskt så att $\neg (P \Rightarrow Q)$ är ekvivalent med $P \wedge \neg Q$.)

Påstående $\neg Q$: $a+b$ är rationell.

Så ditt mål är egentligen att visa att $P\wedge \neg Q$ leder till något omöjligt, dvs. visa att det är omöjligt för $a$ och $b$ att vara irrationell respektive rationell samtidigt som $a+b$ är rationell. Motsägelsen som träder fram i detta fall är precis som du konkluderade: $a$ är rationell, i strid med antagelsen att $a$ var ett irrationellt tal.

Perfekt att du svarar nu! Har en bok som beskriver motsägelsebevis, dock är din förklaring betydligt mer strukturerad och bättre förklarad… 

Mitt motsägelsebevis bör vara lite tydligare nu när jag begripit vad exakt det betyder…

Darth Vader skrev:

Det ser rätt ut!

Utan inskränkning av generalitet kan man som du gjorde antaga att $a$ är irrationell medan $b$ är rationell (i annat fall utför man namnbyte mellan $a$ och $b$).

Påstående $P$: $a$ är irrationell medan $b$ är rationell.

Påstående $Q$: $a+b$ är irrationell.

Ditt mål är att visa att $P \Rightarrow Q$ är sant. Om man ska gå tillväga genom motsägelsebevis ska man visa att situationen $P \wedge \neg Q$ är falskt, dvs. leder till en motsägelse. (Det är faktiskt så att $\neg (P \Rightarrow Q)$ är ekvivalent med $P \wedge \neg Q$.)

Påstående $\neg Q$: $a+b$ är rationell.

Så ditt mål är egentligen att visa att $P\wedge \neg Q$ leder till något omöjligt, dvs. visa att det är omöjligt för $a$ och $b$ att vara irrationell respektive rationell samtidigt som $a+b$ är rationell. Motsägelsen som träder fram i detta fall är precis som du konkluderade: $a$ är rationell, i strid med antagelsen att $a$ var ett irrationellt tal.

Hade du kunnat förklara bergreppet generalisering inom matematiken?

Cristian0311 skrev:

Darth Vader skrev:

Det ser rätt ut!

Utan inskränkning av generalitet kan man som du gjorde antaga att $a$ är irrationell medan $b$ är rationell (i annat fall utför man namnbyte mellan $a$ och $b$).

Påstående $P$: $a$ är irrationell medan $b$ är rationell.

Påstående $Q$: $a+b$ är irrationell.

Ditt mål är att visa att $P \Rightarrow Q$ är sant. Om man ska gå tillväga genom motsägelsebevis ska man visa att situationen $P \wedge \neg Q$ är falskt, dvs. leder till en motsägelse. (Det är faktiskt så att $\neg (P \Rightarrow Q)$ är ekvivalent med $P \wedge \neg Q$.)

Påstående $\neg Q$: $a+b$ är rationell.

Så ditt mål är egentligen att visa att $P\wedge \neg Q$ leder till något omöjligt, dvs. visa att det är omöjligt för $a$ och $b$ att vara irrationell respektive rationell samtidigt som $a+b$ är rationell. Motsägelsen som träder fram i detta fall är precis som du konkluderade: $a$ är rationell, i strid med antagelsen att $a$ var ett irrationellt tal.

Hade du kunnat förklara bergreppet generalisering inom matematiken?

När man ska konstruera ett bevis kan man stöta på en situation där man är tvungen att studera ett flertal fall. I exemplet ovan, påståendet "precis ett av talen $a$ och $b$ är irrationellt" betyder att antingen är $a$ irrationell eller så är $b$ irrationell. I tillägg betraktade du endast fallet när $a$ var irrationell. Om man istället skulle betrakta $b$ som ett irrationellt tal skulle man skriva upp ett analogt bevis med ringa skillnader (den enda skillnaden är ett namnbyte mellan $a$ och $b$). För att underlätta för sig själv och slippa skriva i princip samma bevis två gånger räcker det med att endast visa påståendet under förutsättningen att $a$ utgjorde ett irrationellt tal.

I (engelsk) matematisk test brukar man förkortningen "wlog" (ett akronym för "without loss of generality" - "utan förlust av generalitet" eller "utan inskränkning av generalitet").

Så om skillnaden mellan de olika fallen man behöver undersöka är mycket små kan det vara värt att endast se på ett av de fallen. De andra fallen följer som sagt nästan exakt samma logik.

Har sett folk på youtube som testar flera bevis när jag endast skrev ett. Då fattar jag varför de gjorde så!

Tror det står beskrivet i definition 1.3