Betsäma hastigheten kroklinjig rörelse

Vet du hur normalaccelerationen (centripetalaccelerationen) kan uttryckas i en cirkelbana?

Är det inte att dem accelerationnormal och accelerationtangentialen är två kateter i en rätvinklig triangel så kan man utrycka accelerations total i (an^2 + at^2)^(1/2)

Det kan man i och för sig, men du söker tangentialhastigheten i cirkelbanan, och den ges av tangentialaccelerationen (som här är lika med centripetalaccelerationen).

Så här har jag gjort men det blir inte rätt. Svaret ska bli V = RVo/(R-Vot)

Du tycks ha kommit fram till att $R\alpha=V^2/R$

Låt $V=R\omega$ och $\alpha=\dot{\omega}$, din ekvation blir då en enkel ODE

Kommer du vidare själv?

Nja ska jag integrera höger sidan så jag får den till vinkelhastighet?

$\dot{\omega}=\omega^2$

$\frac{\mathrm{d\omega} }{\mathrm{d} t}=\omega^2$

Detta är en separabel differentialekvation. Du kan t.ex. skriva om det som

$\int \frac{1}{\omega^2}\mathrm{d}\omega+C=\int1\mathrm{d}t$

$\omega=\frac{1}{C-t}$

Sen återstår att bestämma konstanten C. Låt $V_0=V(0)=R\omega(0)$ för att hitta ett värde på C.

Måste säga att jag är helt lost på detta.😔

ture97 skrev :

Måste säga att jag är helt på detta.😔

Lite osäker på hur jag ska tolka det :) Men du har alltså kommit fram till att

$R\alpha=V^2/R$

Sen gäller att $V=R\omega$ (gäller för all cirkulär rörelse). Alltså kan vi skriva om din ekvation

$R\alpha=(R\omega)^2/R$

Nu ser vi att R försvinner, kvar blir

$\alpha=\omega^2$.

Är du med på det?

Jepp de förstår jag.😊

 Nu är $\alpha$, alltså vinkelaccelerationen,  tidsderivatan av vinkelhastigheten.

Förändringen vinkelhastighet per tidsenhet, alltså

$\frac{\mathrm{d\omega} }{\mathrm{d} t}=\omega^2$

Detta är en differentialekvation. Vi letar nu efter ett uttryck $\omega(t)$ som uppfyller differentialekvationen.

Om du tycker att det känns läskigt med $\omega$ går det att räkna i V istället. Motsvarande ekvation blir då

$RV'(t)=V^2$

Jag hoppas du kommer ihåg hur man löser differentialekvationer?

Jo kommer ihåg hur man får fram -R/(t-c) men kommer inte ihåg hur man gör för att bestäma c.

Okej, så du har kommit fram till att $V(t)=-\frac{R}{t-c}=\frac{R}{c-t}$

Nu är begynnelsehastigheten den hastighet vi har i begynnelsen, det hör man ju på namnet änna :)

Vid tiden t=0, begynnelsen, är $V(0)=\frac{R}{c-0}=\frac{R}{c}$

Vi löser ut c

$c=\frac{R}{V(0)}=\frac{R}{V_0}$

Med c insatt i vårt uttryck blir

$V(t)=\frac{R}{\frac{R}{V_0}-t}=\frac{RV_0}{R-tV_0}$

Är du med?

Ja😃 tack så hemskt mycket att du tog dig tiden att hjälpa mig. Tack så hemskt mycket