Betingat väntevärde

Hej! Jag skulle behöva hjälp med att förstå hur man löser problem 4b. Detta är en uppgift i en gammal tenta och jag har därav lösningen till denna, men jag förstår tyvärr inte hur det gör.

Jag är med enda fram till att dessa beräkna $E[Z_2|Z_1=x]=E[X_1+X_2|X_1=x]$, hur får de fram från oberoende att detta är lika med $x+E[X_2]=x$? Jag får inte till varför även om jag testar att använda omskrivningarna $E[X+Y]=E[X]+E[Y]$ samt $E[X|Y]=E[X]$ (för oberoende). Vad är det som jag missar?