Betingad sannolikhet, beroende var

På något sätt behöver du använda dig av att du vet att personen HAR glömt paraplyet någonstans. Spontant tycker jag det verkar rimligt att sannolikheten för de tre butikerna bir lika - om personen inte har glömt paraplyet i butik A eller B så är ju sannolikheten att han har glömt den i butik C 100 % eftersom paraplyet är glömt NÅGONSTANS när han kommer hem.

Skall man inte beräkna 

$p\left(X|A\cup B\cup C\right)$, för X = A, B, C?

$P\left(X\right|A\cup B\cup C)$ = $P(X\cap (A\cup B\cup C\left)\right)/P(A\cup B\cup C)$ = $\frac{P\left(X\right)}{P\left(A\right)+P\left(B\right)+P\left(C\right)}$, X = A, B, C.

$P\left(A\right)$ = $1/4$

$P\left(B\right)$ = $P\left(B\cap A^C\right)$ = $P\left(A^C\right)$$P\left(B|A^C\right)$ = $\frac{3}{4}·\frac{1}{4}$ = $3/16$

$P\left(C\right)$ = som du räknat = $9/64$

$P\left(A\right|A\cup B\cup C)$ = 16/37

$P\left(B\right|A\cup B\cup C)$ = 12/37

$P\left(C\right|A\cup B\cup C)$ = 9/37

PATENTERAMERA skrev:

Skall man inte beräkna 

$p\left(X|A\cup B\cup C\right)$, för X = A, B, C?

Jo, det stämmer. Men jag behövde, som du skrev, först räkna ut det jag skrivit :)

Jag har nu förstått uträkningen - tack!

Undrar dock fortfarande över lite teori till uppgiften: Tänker att A är oberoende av B och C, eftersom den sker först. B är beroende av A men oberoende av C, och C är beroende av både A och B. 
Detta eftersom det sker i en ordning och om personen glömmer sitt paraply i t ex A eller B kan inte paraplyet glömmas i någon senare besökt butik. 
Stämmer detta?

Jag skulle säga att A är oberoende av B om

$P\left(A|B\right)$ = P(A).

Men det är ju inte fallet här eftersom $A\cap B$ = $\varnothing$.

Om du vet att man glömt paraplyet i B så är sannolikheten att man glömt paraplyet i A lika med noll.

Aha, alltså är A, B och C beroende av varandra.

Pompan skrev:

Aha, alltså är A, B och C beroende av varandra.

Ja, så som man normalt definierar oberoende händelser i sannolikhetsläran.

A och B är oberoende händelser om P(A$\cap$B) = P(A)P(B). I vårt fall gäller att P(A$\cap$B) = 0, men P(A)P(B) $\ne$ 0.

https://www.math.kth.se/matstat/gru/sf1901/M/fls2_ht16.pdf

Men precis som du säger så måste man ju ta hänsyn till i vilken ordning man går in i affärerna.

Tex inser vi att P(A) = 1/4, eftersom det är den första affären man går in i. Men det blir ju fel om vi även skulle använda  P(B) = 1/4, eftersom man går in i A innan man går in i B, och därför borde P(B) rimligen vara mindre än 1/4 då det nu finns den möjligheten att man glömmer paraplyet redan i A.  Så du har ju rätt i att det finns något slags beroende/oberoende mellan händelserna, om man blundar för den gängse definitionen (ovan).

$P(A)=\frac{1}{4}$

$P(B)=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}$

$P(C)=(\frac{3}{4})^2\cdot \frac{1}{4}$

tomast80 skrev:

$P(A)=\frac{1}{4}$

$P(B)=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}$

$P(C)=(\frac{3}{4})^2\cdot \frac{1}{4}$

Nja, det där blir bara drygt ½ sammanlagt - och det står i förutsättningarna att han vet att han har glömt paraplyet i någon av de tre butikerna. Som jag skrev innan - om personen inte har glömt paraplyet vare sig i butik A eller butik B, så är sannolikheten 1 hatt han glömmer den i butik C, eftersom den är glömd när han kommer hem.

Fundersamheterna kring beroenden här skulle eventuellt kunna komma från att man tänker sig att vi betingar på något annat än vi egentligen gör. Vi låter S vara en variabel för vilken butik vi pratar om, så att S ∈ {A, B, C}, och vi låter H_S vara händelsen att mannen har med sig paraplyet när han går in i butik S. För alla butiker har ju sannolikheten egentligen samma bekanta form: Sannolikheten att han glömmer paraplyet i butik S är P(S) = P(S|H_S)*P(H_S), dvs sannolikheten att han glömmer det i butiken givet att han har med sig det dit, gånger sannolikheten att han har med sig det dit.

Vad som är givet i uppgiften är P(A|H_A) = P(B|H_B) = P(C|H_C) = 1/4, och det är underförstått att P(H_A) = 1 (dvs vi vet att han hade med sig paraplyet in i den första butiken). För de andra butikerna blir den sistnämnda sannolikheten inte längre 1, utan P(H_B) = (3/4) och P(H_C) = (3/4)^2 eftersom han då kan ha glömt paraplyet i någon av de föregående butikerna. Så känslan av beroende kommer gissningsvis från att vi har faktorn P(H_S) som minskar för varje butik och på så sätt är "beroende" av antalet butiker han besökt. Men detta betyder alltså inte att vi betingar på händelserna A, B och C, för dessa är ju att han glömmer paraplyet i respektive butik och inte bara att han besökt dem. (A, B och C är disjunkta, så de är superberoende av varandra: Om en av dem händer så kan omöjligt någon av de andra hända.)

Det enda vi betingar på i praktiken blir G = A ⋃ B ⋃ C, dvs att han glömt paraplyet i någon av butikerna. Enligt vad som sagts ovan och definitionen av betingad sannolikhet så får vi för alla butiker S att:

$P\left(S\right|G)=\frac{P(S\cap G)}{P\left(G\right)}=\frac{P\left(S\right)}{P\left(G\right)}=\frac{P\left(S\right|H_S\left)P\right(H_S)}{P\left(G\right)}$.

I sista uttrycket är allt konstant utom P(H_S). Första faktorn i täljaren är det givna 1/4, och i nämnaren har vi komplementhändelsen till att han inte glömmer paraplyet alls, dvs P(G) = 1-(3/4)^3. Sätter vi in dessa värden och förenklar uttrycket så får vi:

$P\left(S\right|G)=\frac{16}{37}P(H_S)$.

Givet att mannen glömt paraplyet så är alltså sannolikheten att det hände i butik S alltid (16/37)*P(H_S), där P(H_S) för de olika butikerna är 1, (3/4) respektive (3/4)^2.

Smaragdalena skrev:

tomast80 skrev:

$P(A)=\frac{1}{4}$

$P(B)=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}$

$P(C)=(\frac{3}{4})^2\cdot \frac{1}{4}$

Nja, det där blir bara drygt ½ sammanlagt - och det står i förutsättningarna att han vet att han har glömt paraplyet i någon av de tre butikerna. Som jag skrev innan - om personen inte har glömt paraplyet vare sig i butik A eller butik B, så är sannolikheten 1 hatt han glömmer den i butik C, eftersom den är glömd när han kommer hem.

Notera att detta är obetingade sannolikheter. Om du adderar de framräknade betingade sannolikheterna så får du 1. Så inga problem.