Betingad sannolikhet

Hej! Jag behöver få lite hjälp ang. denna uppgift.

"Let S be a sample space with n equally likely outcomes where n is a prime number. Show that there are no independent events (unless one of them is S or the empty set)."

Jag försökte mig på denna med ett motsägelsebevis men jag lyckades inte.

Jag antog motsatsen, dvs att det måste gälla att $A_{n}, A_{n - 1}$ är oberoende eller med andra ord att $P (A_{n} | A_{n - 1}) = \frac{P (A_{n} \cap A_{n - 1})}{P (A_{n - 1})} \forall n \in M \Rightarrow P (A_{n} | A_{n - 1}) = \frac{P (A_{n} \cap A_{n - 1})}{\frac{1}{n}} = n P (A_{n} \cap A_{n - 1}) \forall n \in M$ om M betecknar vår mängd med primtal. Om jag sedan utnyttjar att $P (A_{n} \cup A_{n - 1}) = P (A_{n}) + P (A_{n - 1}) - P (A_{n} \cap A_{n - 1}) = \frac{2}{n} - P (A_{n} \cap A_{n - 1})$ så ger detta tillsammans med resultatet ovan att $P (A_{n} | A_{n - 1}) = 2 - n P (A_{n} \cup A_{n - 1}) \geq 2 - n$ .

Här var min idé att försöka uppskatta sannolikhetsmåttet med hjälp av det faktum att n är ett primtal och på så vis få att P >=1 eller <= 0 eller något annat orimligt. Men jag lyckas inte med något sådant härifrån. Det kanske finns någon här som kan ge mig något tips för hur man ska angripa problemet? Det finns kanske smidigare sätt att göra detta på än min ansats ovan.

Tacksam för svar!

Mvh!

Glöm det förresten! Jag inser nu att jag gjort ett misstag ovan.

Om vi antar att det bara finns oberoende händelser, så gäller det ju att $P (A_{n} | A_{n - 1}) = P (A_{n}) \forall n \in M \Rightarrow P (A_{n} \cap A_{n - 1}) = P (A_{n}) P (A_{n - 1})$ vilket ger tillsammans med resultat i förra inlägget att

$\frac{2}{n} - P (A_{n} \cup A_{n - 1}) = \frac{1}{n^{2}} \Rightarrow P (A_{n} \cup A_{n - 1}) = \frac{2}{n} - \frac{1}{n^{2}}$ och här kör jag fast i alla fall. Någon idé?

Mvh!

Ingen som har någon idé?

tarkovsky123_2, det står i Pluggakutens regler att man måste vänta åtminstone 24 timmar innan man bumpar sin tråd. 20 timmar är mindre än 24 timmar. /moderator

Svara

Visa senaste svar