''Beteende'' av derivata

Om funktionen "avståndet i kvadrat" har sitt minimum för ett visst x, så har även funktionen "avståndet" sitt minimivärde för samma x. 

Derivatan av "en funktion i kvadrat" och "derivatan av en funktion" i kvadrat är inte samma sak (det kan finnas specialfall när det faktiskt är samma sak, men det är som sagt specialfall). 

smaragdalena skrev :

Om funktionen "avståndet i kvadrat" har sitt minimum för ett visst x, så har även funktionen "avståndet" sitt minimivärde för samma x. 

Derivatan av "en funktion i kvadrat" och "derivatan av en funktion" i kvadrat är inte samma sak (det kan finnas specialfall när det faktiskt är samma sak, men det är som sagt specialfall). 

Tack Smaragdalena !

Eftersom detta rör sig om avstånd och funktionen alltså alltid är positiv så gäller det att typen av extremvärde är detsamma. I detta fall har både funktionen och "funktionen i kvadrat" ett minvärde vid samma värde på x.

Men om funktionen skulle ha varit negativ så kommer vid kvadrering minvärde att bytas mot maxvärde och vice versa.

Exempel:

Funktionen f(x) = -x^2 -1 har ett maxvärde i punkten (0, -1), men den kvadrerade funktionen (f(x))^2 = (-x^2 - 1)^2 har ett minvärde i punkten (0, 1).

Nu vet jag inte om du hunnit lära dig deriveringsreglerna för kvot/produkt, men för att alltid vara säker kan du beteckna avståndet $d$ med funktionen

     $d\left(x\right)=\sqrt{x^2-2x+2.25}={\left(x^2-2x+2.25\right)}^{\frac{1}{2}}$

     $d\text{'}\left(x\right)=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+2.25}}.$

Ekvationen $d\text{'}\left(x\right)=0$ har samma reella rot som ekvationen $x-1=0.$

Lirim.K skrev :

Nu vet jag inte om du hunnit lära dig deriveringsreglerna för kvot/produkt, men för att alltid vara säker kan du beteckna avståndet $d$ med funktionen

     $d\left(x\right)=\sqrt{x^2-2x+2.25}={\left(x^2-2x+2.25\right)}^{\frac{1}{2}}$

     $d\text{'}\left(x\right)=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+2.25}}.$

Ekvationen $d\text{'}\left(x\right)=0$ har samma reella rot som ekvationen $x-1=0.$

OMG förstår ingenting men det verkar verkligen intressant, jag ska kolla upp det på matteboken, jag återkommer säkert med frågor .)

Yngve skrev :

Eftersom detta rör sig om avstånd och funktionen alltså alltid är positiv så gäller det att typen av extremvärde är detsamma. I detta fall har både funktionen och "funktionen i kvadrat" ett minvärde vid samma värde på x.

 

Men om funktionen skulle ha varit negativ så kommer vid kvadrering minvärde att bytas mot maxvärde och vice versa.

Exempel:

Funktionen f(x) = -x^2 -1 har ett maxvärde i punkten (0, -1), men den kvadrerade funktionen (f(x))^2 = (-x^2 - 1)^2 har ett minvärde i punkten (0, 1).

Tack Yngve som alltid!

Men varför har inte derivata på funktionen upphöjt i 2 värde 2x?

Daja skrev :

Yngve skrev :

Eftersom detta rör sig om avstånd och funktionen alltså alltid är positiv så gäller det att typen av extremvärde är detsamma. I detta fall har både funktionen och "funktionen i kvadrat" ett minvärde vid samma värde på x.

 

Men om funktionen skulle ha varit negativ så kommer vid kvadrering minvärde att bytas mot maxvärde och vice versa.

Exempel:

Funktionen f(x) = -x^2 -1 har ett maxvärde i punkten (0, -1), men den kvadrerade funktionen (f(x))^2 = (-x^2 - 1)^2 har ett minvärde i punkten (0, 1).

Tack Yngve som alltid!

Men varför har inte derivata på funktionen upphöjt i 2 värde 2x?

Jag förstår inte riktigt vad du menar.

Jag har ritat graferna till funktionen f(x) och kvadraten på funktionen, dvs (f(x))^2.

Jag ritade inte någon av derivatorna.

Så här ser den kvadrerade funktionen och dess derivata ut.

( derivatan är 2*(-x^2 - 1)*(-2x) = 4x*(x^2 + 1) = 4x^3 + 4x )

Hej Daja!

Om jag förstår din fråga rätt så undrar du om funktionen $(f(x))^{2}$ har sitt maximum (eller minimum) för samma x-värde som funktionen $f(x)$ har?

Kedjeregeln säger att derivatan till funktionen $(f(x))^{2}$ är lika med $(f^2)'(x) = 2f(x)\cdot f'(x)$.

Om funktionen $f(x)$ har ett maximum för $x = a$ så är derivatan $f'(a) = 0$. Det medför att $2f(a)\cdot f'(a) = 2f(a)\cdot 0 = 0$, vilket i sin tur medför att derivatan $(f^2)'(a) = 0$. Men det behöver inte betyda att funktionen $(f(x))^{2}$ har ett maximum för $x=a$; det skulle också kunna betyda att funktionen $(f(x))^{2}$ har ett minimum för $x=a$ eller att funktionen $(f(x))^{2}$ har en sadelpunkt för $x=a$.

Om funktionen $(f(x))^{2}$ har ett maximum för $x=a$ så är $(f^2)'(a) = 2f(a)\cdot f'(a) = 0.$ Om du vet att f(a) inte är lika med noll, så måste det vara så att f'(a) = 0. Men det behöver inte betyda att funktionen $f(x)$ har ett maximum för $x=a$; det skulle också kunna betyda att funktionen $f(x)$ har ett minimum för $x=a$ eller att funktionen $f(x)$ har en sadelpunkt för $x=a$.

Vad du däremot kan säga är följande.

    Anta att $f(a) \neq 0$. Då är påståendet att $x=a$ ger en  extrempunkt till funktionen $f(x)$ samma sak som påståendet att $x=a$ ger en extrempunkt till funktionen $(f(x))^2$.

Albiki

Tack så mycket, det måste jag nog läsa flera gånger!

Jag hade skrivit svar till Yngve också men kunde inte posta den. Men det var i stort sätt att jag förstådd fel första gång. Och visst funktioner -x^2-1 och ( -x^2-1)^2 har samma extrempunkt (men speglade) bara för vi har -1? Annars skulle det ser ut helt olika? Så i andra ord en andragradsfunktion med till ex x^2+7 och (x^2+7)^2 har ingenting gemmensamt?

Funktionerna $y = x^2+7$ och $y = (x+7{)}^2$(jag gissar att det var det du menade, det su skrev är ett fjärdegradspolynom) har olika nollställen och olika symmetrilinje, men de har en annan sak gemensam - de är lika breda, till skillnad från $y = 0,001x^2$, som är mycket bredare, eller $y = 7x^2$, som är mycket smalare. Rita upp dem, så förstår du vad jag menar!

Daja skrev :

Tack så mycket, det måste jag nog läsa flera gånger!

 

Jag hade skrivit svar till Yngve också men kunde inte posta den. Men det var i stort sätt att jag förstådd fel första gång. Och visst funktioner -x^2-1 och ( -x^2-1)^2 har samma extrempunkt (men speglade) bara för vi har -1? Annars skulle det ser ut helt olika? Så i andra ord en andragradsfunktion med till ex x^2+7 och (x^2+7)^2 har ingenting gemmensamt?

Jo de har lite gemensamt. De har t.ex. sin extrempunkt vid samma x-värde.

Men x^2 + 7 är ett andragradsuttryck

(x^2 + 7)^2 är ett fjärdegradsuttryck, vilket man inser om man utvecklar kvadraten:

(x^2 + 7)^2 = (x^2)^2 + 2*x^2*7 + 7^2 = x^4 + 14x^2 + 49.

Jo, de har samma symmetrilinje. Jag skrev fel förut.

Albiki skrev :

Hej Daja!

Om jag förstår din fråga rätt så undrar du om funktionen (f(x))2 (f(x))^{2} har sitt maximum (eller minimum) för samma x-värde som funktionen f(x) f(x) har?

Kedjeregeln säger att derivatan till funktionen (f(x))2 (f(x))^{2} är lika med (f2)'(x)=2f(x)·f'(x) (f^2)'(x) = 2f(x)\cdot f'(x) .

Om funktionen f(x) f(x) har ett maximum för x=a x = a så är derivatan f'(a)=0 f'(a) = 0 . Det medför att 2f(a)·f'(a)=2f(a)·0=0 2f(a)\cdot f'(a) = 2f(a)\cdot 0 = 0 , vilket i sin tur medför att derivatan (f2)'(a)=0 (f^2)'(a) = 0 . Men det behöver inte betyda att funktionen (f(x))2 (f(x))^{2} har ett maximum för x=a x=a ; det skulle också kunna betyda att funktionen (f(x))2 (f(x))^{2} har ett minimum för x=a x=a eller att funktionen (f(x))2 (f(x))^{2} har en sadelpunkt för x=a x=a .

Om funktionen (f(x))2 (f(x))^{2} har ett maximum för x=a x=a så är (f2)'(a)=2f(a)·f'(a)=0. (f^2)'(a) = 2f(a)\cdot f'(a) = 0. Om du vet att f(a) inte är lika med noll, så måste det vara så att f'(a) = 0. Men det behöver inte betyda att funktionen f(x) f(x) har ett maximum för x=a x=a ; det skulle också kunna betyda att funktionen f(x) f(x) har ett minimum för x=a x=a eller att funktionen f(x) f(x) har en sadelpunkt för x=a x=a .

Vad du däremot kan säga är följande.

    Anta att f(a)≠0 f(a) \neq 0 . Då är påståendet att x=a x=a ger en  extrempunkt till funktionen f(x) f(x) samma sak som påståendet att x=a x=a ger en extrempunkt till funktionen (f(x))2 (f(x))^2 .

Albiki

Hej igen!

Nu läste jag väldigt noggrant och... Svaret till frågan är ja :) (?)

Om f(x) har en extrempunkt (en maxi, mini eller terrass -det är det du menar med en sadel?), det medför att f'(x)=0, och f'^2 är också 0, för 0^2=0.
Sorry for rephrasing, ibland hänger jag inte med pga språket.

Men visst är det det du menar?

smaragdalena skrev :

Funktionerna y = x2+7 och y = (x+7)2 (jag gissar att det var det du menade, det su skrev är ett fjärdegradspolynom) har olika nollställen och olika symmetrilinje, men de har en annan sak gemensam - de är lika breda, till skillnad från y = 0,001x2, som är mycket bredare, eller y = 7x2, som är mycket smalare. Rita upp dem, så förstår du vad jag menar!

Hej!

Jo, jag menade en fjärde grad polynom, alltså (x^2+7)^2.

.... Som byggs på samma modell som (-x^2-1)^2.  Sorry postade för snabbt!!

Det är för sent för redigera, men jag försökte att bygga en funktion på samma sätt som Yngves exempel:

Hon skriver så där:

Eftersom detta rör sig om avstånd och funktionen alltså alltid är positiv så gäller det att typen av extremvärde är detsamma. I detta fall har både funktionen och "funktionen i kvadrat" ett minvärde vid samma värde på x.

Men om funktionen skulle ha varit negativ så kommer vid kvadrering minvärde att bytas mot maxvärde och vice versa.

Exempel:

Funktionen f(x) = -x^2 -1 har ett maxvärde i punkten (0, -1), men den kvadrerade funktionen (f(x))^2 = (-x^2 - 1)^2 har ett minvärde i punkten (0, 1).

Så jag undrar därför vad händer när man upphöjer i 2 en funktion som har något annat an 1 eller -1 som konstant? Därför exemplet med (x^2+7) och (x^2+7)^2 

Om jag nu försöker applicera vad Albiki skrev igår:

Derivata för första funktion =2x. Det blir noll när x=0

Och derivata på x^4+14x^2+49 är x^3+28x, och har lösningar x=0, plus och minus sqrt (28)....

Så det betyder att det finns EN punkt på kurvan där avståndet är samma? Men nu jag kollar på kurvor är det helt olika.

https://www.google.se/webhp?sourceid=chrome-instant&rlz=1C1GKLA_enSE660SE660&ion=1&espv=2&ie=UTF-8#q=(x^2%2B7)+and+(x^2%2B7)^2&*

Ah nej, för en gång skulle trodde jag att jag hängde med :'''(

Kurvorna är inte samma, men om f(x) har en extrempunkt vid ett visst värde på x så har även (f(x))^2 ett extremvärde vid samma värde på x. Men extrempunkternas "y-värden" sammanfaller inte nödvändigtvis. Y-värdet för den kvadrerade funktionen är ju kvadraten på y-värdet för funktionen.

Eftersom det i detta fallet var enklare att hitta extrempunkten för den kvadrerade funktionen så gjorde man det.

Tack Yngve och alihoppa,

Önskar er en trevlig helg!

Tack detsamma Daja!