Besvärliga komplexa tal

de Moivres formel, tycker jag. Dvs. skriv på polär form och upphöj absolutbeloppet till 55 och multiplicera argumentet med 55.

Skriv om $1+i$ på polär form.

Sedan kan du tänka efter om du känner till någon formel som hjälper till att räkna ut potenser av komplexa tal på polär form.

1 + i på polär form blir ju: $\sqrt{2}{e}^{i\frac{\mathrm{\pi }}{4}}$ så då har jag ${\left(\sqrt{2}{e}^{i\frac{\mathrm{\pi }}{4}}\right)}^{55}$

Lämpligt är nog att använda de Moivres formel som Laguna säger, då blir det:

${\left(\sqrt{2}\left(\cos \frac{\mathrm{\pi }}{4}+i\sin \frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)\right)}^{55}$ 

hur går man vidare sen? Blir det ${\left(\sqrt{2}\right)}^{55}+\cos 55 \frac{\mathrm{\pi }}{4}+i\sin 55 \frac{\mathrm{\pi }}{4}$? Kan det verkligen stämma?

Nästan. Det blir:

$\left(\sqrt{2}\right)^{55}(\cos(\dfrac{55\pi}{4})+i\sin(\dfrac{55\pi}{4}))$

För att förenkla detta kan man inse att:

$\left(\sqrt{2}\right)^{55}=\left(\sqrt{2}\right)^{54}\cdot\sqrt{2}=2^{27}\cdot\sqrt{2}$

samt att:

$\cos(\dfrac{55\pi}{4})=\cos(\dfrac{7\pi}{4})$

$\sin(\dfrac{55\pi}{4})=\sin(\dfrac{7\pi}{4})$

(p.g.a. periodiciteten $2\pi$ för sinus och cosinus)

Aah.. himla smart! :-)

Men hur visste du hur många varv ($2\mathrm{\pi }$) du skulle snurra tillbaka cosx & sinx?

Alltså hur du insåg att 55:an kunde bli 7?

Varje sektor $\frac{\pi}{4}$ är en åttondels varv.

$55=48+7=6\cdot8+7$