Bestämma x
Hej!
Jag vet inte riktigt hur jag ska gå tillväga på denna uppgift:
Bestäm alla heltal x som uppfyller kongruensekvationerna:
c) 5x-10 30 (mod 7)
Jag har börjat att konstatera att -10 ≡ 4 (mod 7)
Då tänkte jag att 5x-10 ≡ 34 (mod 7)
Härifrån vet jag inte riktigt vad jag ska göra. Jag började skriva upp att 5x-10-34 = 7k och att 5x -44 = 7k, men hur ska jag uttrycka vad x är med hjälp av n?
Tack på förhand!
Ampere skrev:Hej!
Jag vet inte riktigt hur jag ska gå tillväga på denna uppgift:
Bestäm alla heltal x som uppfyller kongruensekvationerna:
c) 5x-10 30 (mod 7)
Jag har börjat att konstatera att -10 ≡ 4 (mod 7)
Då tänkte jag att 5x-10 ≡ 34 (mod 7)
Härifrån vet jag inte riktigt vad jag ska göra. Jag började skriva upp att 5x-10-34 = 7k och att 5x -44 = 7k, men hur ska jag uttrycka vad x är med hjälp av n?
Tack på förhand!
Hur kom du från 5x-10 ≡ 30 (mod 7) till 5x-10 ≡ 34 (mod 7)? Det ser ut att vara en annan ekvation med andra lösningar än den ursprungliga.
Det var en miss av mig. Det ska stå 5x ≡ 34 (mod 7).
Jag tänkte nämligen försöka dela upp termerna genom att beräkna resten för -10 separat och sedan för 5x separat.
5x-10 är kongruent med 5x+4, så då blir det 5x är kongruent med 26 modulo 7.
Varför tänker ni såhär? Varför inte såhär:
Simplifera 5x-10 till 5x-3 och 30 till 2 (Ta mod 7 med andra ord)
Då får du att 5x-3 är kongruent med 2.
Sen lägger du till + 3 i HL och får att 5x är kongruent med 5, därmed är x kongruent med 1.
Om x mod 7 ska alltid vara 1 får du följande generella formel för alla möjliga x: 7n+1
(Där n är ett heltal).
Så kan du kolla om det stämmer, ta exempelvis n = 12, då får du 7 * 12 +1 = 85, x = 85.
85 * 5 - 10 ska vara kongruent med 30 (mod 7)
415 ska vara kongruent med 30 (mod 7), verifera:
415 mod 7 = 2
30 mod 7 = 2
Testa också med negativt tal så stämmer det, eller tänker jag fel?
Jag ska prova hur de blir med metoderna ovan.
Jag tänkte inte på att man fick förenkla 30 (mod 7), trots att det inte stod någonstans att man inte fick/skulle det!
Ampere skrev:Jag ska prova hur de blir med metoderna ovan.
Jag tänkte inte på att man fick förenkla 30 (mod 7), trots att det inte stod någonstans att man inte fick/skulle det!
Alltså jag vet faktiskt inte om man får göra så eller inte men ser inte varför man inte ska få förenkla 30 (mod 7) till 2 (mod 7) då de båda har samma värde (2).
Laguna skrev:5x-10 är kongruent med 5x+4, så då blir det 5x är kongruent med 26 modulo 7.
Jag förstår inte riktigt varför det blir så.
Jag tänkte att om -10 är kongruent med 4 mod 7, så blir det 5x-4 ≡ 30 (mod 7)
Och då tänkte jag att 5x ≡ 34 (mod 7). Varför blir det fel?
-10 är kongruent med 4 modulo 7.
Vi kan ta ett annat tal som -10 är kongruent med. -10 är kongruent med -3 modulo 7. Hur blir det om du använder -3 i stället för 4?
Om det är -3 istället för 4 blir det väl ändå 4 (mod 7) i slutändan?
Jag tror att jag tänker fel någonstans, men jag förstår inte varför.
Det stod ju:
5x-10 ≡30 (mod 7)
Det som jag är osäker på är hur det blir med minustecknet efter att man har fastställt att -10 är kongruent med 4 modulo 7.
Varför ska man inte skriva 5x-4 ≡ 30 (mod 7)? Varför blev ska det bli 5x+ 4 ≡ 30 (mod 7)?
Därför att -4 inte är kongruent med -10 (-4-1*7= -11). Däremot är 4 kongruent med -10 (-10+2*7=4).
Eller annorlunda uttryckt: Skillnaden mellan 5x-10 och 5x-4 är 6. Och 6 är inte 0 (mod 7), alltså är omskrivningen fel.
Okej, tack för förklaringen!
Går det även att tänka enligt en av kongruensreglerna:
Att 5x +(-10) ≡ 30 (mod 7)
Och om jag räknar att -10 är kongruent med 4 modulo 7, så kan det istället skrivas
5x + 4 ≡ 30 (mod 7) ?
Jag tror att det är minustecknet som förvirrar mig och gjorde att min uträkning blev fel eftersom jag hade kvar minustecknet framför 4:an.
Ja.
Så länge som du lägger till / drar ifrån 7*n så kan du göra som du vill. Till exempel:
5x-10=30 (mod 7)
5x=40 (mod 7)
5x=5 (mod 7) (eftersom 40=5+5*7)
x=1 (mod 7)
x=1 + 7n
5x-10=30 (mod 7)
5x+4=30 (mod 7)
5x=26 (mod 7)
5x=5 (mod 7) (eftersom 26=5+3*7)
x=1 (mod 7)
x=1 + 7n
Stort tack för hjälpen!
