Bestämma vektor till ortonormerad bas

Hej!

I uppgiften: Bestäm en vektor v₃= (x,y,z) som tillsammans med v₁ = $\frac{1}{3} (- 2, - 1, 2)$ och v₂ = $\frac{1}{3} (1, 2, 2)$ utgör en ortonormerad bas. Bestäm koordinaterna för u = (1,1,1) med avseende på v₁,v₂,v₃. (ortonormerat system)

Det jag fastnar på är hur jag ska bestämma v₃ med hjälp av de två andra vektorerna. Jag försökte göra ett ekvationssystem utav tre ekvationer:

$v_{1} \times v_{3} = 0 v_{2} \times v_{3} = 0 v_{1} \times v_{2} \times v_{3} = 1$

vilket då är reglerna för ett ortonormerat system i rummet.

Men när jag gjorde det fick jag att v₃=(0,0,0) vilket inte stämmer alls då vektorn ska vara $\frac{1}{3} (- 2, 2, - 1)$ .

Det jag hittar från liknande trådar på pluggakuten och på internet är att jag ska göra en kryssprodukt mellan v₁ och v₂ men eftersom det först kommer i nästa kapitel är jag utan ideer. Hur ska jag gå tillväga för att få fram vektorn?

De två första ekvationerna verkar OK, men den tredje borde vara v₃ • v₃ = 1.

Går det bättre?

Ett ekvationssystem fungerar! Börja med att bara hitta en vektor som är vinkelrät mot de andra:

$\{\begin{cases} v_{1} \cdot v_{3} = (- 2, - 1, 2) \cdot (x, y, z) = - 2 x - y + 2 z = 0 \\ v_{2} \cdot v_{3} = (1, 2, 2) \cdot (x, y, z) = x + 2 y + 2 z = 0 \end{cases}$

Alla lösningar till detta system kommer att vara vinkelräta mot de andra vektorerna. Kommer du på någon passande lösning?

PATENTERAMERA skrev:
De två första ekvationerna verkar OK, men den tredje borde vara v₃ • v₃ = 1.
Går det bättre?

Intressant, vet inte hur jag fick för mig att $v_{1} \times v_{2} \times v_{3} = 1$ . Men när jag istället gör med v₃ • v₃ = 1 får jag ju två svar, nämligen (2,-2,1) och (-2,2,-1). Hur vet jag att det endast är (-2,2,-1) som stämmer när båda vektorerna fungerar i samtliga ekvationer jag satte upp ekvationssystemet med?

Båda fungerar! Beroende på vilken du väljer får du ett höger- eller vänsterorienterat system. :)

pepparkvarn skrev:
Ett ekvationssystem fungerar! Börja med att bara hitta en vektor som är vinkelrät mot de andra:
$\{\begin{cases} v_{1} \cdot v_{3} = (- 2, - 1, 2) \cdot (x, y, z) = - 2 x - y + 2 z = 0 \\ v_{2} \cdot v_{3} = (1, 2, 2) \cdot (x, y, z) = x + 2 y + 2 z = 0 \end{cases}$
Alla lösningar till detta system kommer att vara vinkelräta mot de andra vektorerna. Kommer du på någon passande lösning?

Det är just hur jag ska hitta den tredje vektorn på ett "korrekt" sätt som jag undrar hur jag ska göra. Tänker att ett godkänt svar på en examination inte kan utgå ifrån att jag ser ett samband som ger mig den tredje vektorn utan att kunna visa tankegången. Det är där jag fastnar tyvärr

pepparkvarn skrev:
Båda fungerar! Beroende på vilken du väljer får du ett höger- eller vänsterorienterat system. :)

Okej! Det är alltså bara så att facit visar en lösning. :) Tackar för snabba svar!

Det fina här är att det inte spelar någon roll! :) Om du ritar upp de två vektorerna, och markerar ut hur den tredje ska gå:

Alla vektorer som är vinkelräta mot de två givna vektorerna ligger på samma linje. När du sedan normerar deras längd kommer du att få en av de två vektorer du skrev i ditt andra inlägg i denna tråd. :) Därmed: Hitta en lösning till ekvationssystemet, exempelvis (4, 2, -4). När du sedan normerar denna, får du ett fungerande svar. :)

Edit: Varsågod! :)

Svara

Visa senaste svar