Bestämma värde på x som en serie konvergerar för

Jag har stött på en uppgift där jag behöver bestämma för vilka värden på x som är större än eller lika med 0 serien ∑ från n=1 till oändligheten av (n*x^n)/(2n+1)*2^n konvergerar, och jag måste erkänna att jag är lite förvirrad. Uppgiften (och lösningen) lyder så här:

6. Bestäm de värden på x som är större än eller lika med 0 där serien ∑ från n=1 till oändligheten av (n*x^n)/(2n+1)*2^n konvergerar för. Lösning: Låt S(x) vara ∑ från n=1 till oändligheten av (n*x^n)/(2n+1)*2^n. För x som är större än eller lika med 0 är alla termerna i serien större än eller lika med 0.

Eftersom gränsen när n går mot oändligheten av (n+1)*x^(n+1)/(2n+3)*2^(n+1) dividerat med n*x^n/(2n+1)*2^n är lika med gränsen när n går mot oändligheten av (n+1)(2n+1)*x/(2n(2n+3)) vilket blir x gånger gränsen när n går mot oändligheten av (2n^2+3n+1)/(4n^2+6n) vilket är lika med x/2, så ger kvotkriteriet att serien konvergerar för 0 ≤ x < 2 och att den divergerar för x > 2.

Det återstår bara att undersöka fallet då x=2. För x=2 har vi S(2) är lika med ∑ från n=1 till oändligheten av n*2^n/(2n+1)*2^n vilket är lika med ∑ från n=1 till oändligheten av n/(2n+1) så serien divergerar eftersom termerna inte går mot noll när n går mot oändligheten. Alltså är serien konvergent om och endast om 0 ≤ x < 2.

Svar: (a) 0 ≤ x < 2.

Det jag inte riktigt förstår är varför vi landar på att serien konvergerar för 0 ≤ x < 2 och behöver undersöka specifika fall för x=2 och x>2. Hur kommer vi fram till att serien konvergerar för dessa intervall och varför är det nödvändigt att särskilt undersöka divergensen och konvergensen för dessa värden på x? Skulle verkligen uppskatta om någon kunde hjälpa mig att förstå detta bättre, särskilt när det kommer till att tänka kring divergens och konvergens för serier.