Bestämma tröghetsmomentet hos en cylindrisk yta (flervariabelanalys)

Hejsan!

Jag har lite problem med att lösa uppgift 8.27:

Kroppen är alltså en cylindrisk yta med radie 3 som går från 0 till 2 i x-led. Jag tänker därför att det vore lämpligt att ha den yttre integralen integrerad i x-led och den inre som en rotation kring x-axeln. Jag ersätter y och z med planpolära koordinater:

$\left\{\begin{array}{l}y = 3\cos \phi \\ z = 3\sin \phi \\ 0\le \phi \le 2\mathrm{\pi }\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \iint (y^2+z^2)\rho dS = \iint 9x{y}^2 dS = //p.p.k// =\hspace{0.17em}9{\int }_0^{2}x({\int }_0^{2\mathrm{\pi }}{\left(3\cos \phi \right)}^2 d\phi )dx = 9{\int }_0^{2}x({\int }_0^{2\mathrm{\pi }}9{\cos }^2\phi d\phi )dx \\ L L \\ = 81{\int }_0^{2}x dx{\int }_0^{2\mathrm{\pi }}{\cos }^2\phi d\phi = 81\mathrm{\pi }{\int }_0^{2}x dx = 81\mathrm{\pi } · 2 = 162\mathrm{\pi } \end{gathered}$$

(p.p.k står för planpolära koordinater)

Notera att jag använder${\int }_0^{2\mathrm{\pi }}{\cos }^2\phi d\phi = \frac{2\mathrm{\pi }-0}{2} =\pi$

Jag får 162pi men i facit står det 486pi, vilket är tre gånger så stort. Var har jag tänkt fel?

Tacksam för hjälp! :)