Bestämma trig. funktion utifrån graf

Jag har studerat några exempeluppgifter där man utifrån en graf ska bestämma en trigonometrisk kurva, t.ex. 6.39 b):

Man vet från början att graferna kan skrivas antingen på formen $\displaystyle A\sin(kx+b)+d$ eller formen $\displaystyle A\cos(kx+b)+d$ . Egentligen bör man väl kunna välja själv om man vill skriva det som en sin- eller cosinusfunktion.

Några saker kan man plocka fram direkt:

$\displaystyle |A|=|\frac{3.5-(-1.5)}{2}|=2.5$ samt $\displaystyle d = \frac{3.5+(-1.5)}{2}=1$ .

Ur grafen kan det utläsas att $\displaystyle \frac{2\pi}{2|k|}=\pi \implies |k| = 1$ .

Då bestämmer jag helt enkelt att funktionen ska skrivas som en sinusfunktion. Nu kommer vi till det jag inte riktigt förstår: hur ska man veta vilket par A och k man ska välja för att funktionen ska bli rätt? T.ex. kan jag välja A=2.5, men hur ska jag veta om jag då ska välja det negativa eller positiva k:et?

Man vet ju att y' > 0 precis efter x = 0 så funktionens värde ska ju hela tiden öka i början. Om termen b inte hade funnits i argumentet hade det varit enkelt; då vet man att k>0. Men med b med i leken blir det mer komplicerat...

Precis som du själv kan välja att beskriva grafen som en sinus- eller en cosinusfunktion så kan du själv välja om du vill att k ska vara positiv eller negativ.

Positivt k ger snyggare funktionsuttryck.

Yngve skrev:
Precis som du själv kan välja att beskriva grafen som en sinus- eller en cosinusfunktion så kan du själv välja om du vill att k ska vara positiv eller negativ.

Positivt k ger snyggare funktionsuttryck.

Detsamma gäller för A. Dessa parametrar kommer påverka valet av b. Så välj positiva A och k och bestäm därefter b utifrån dessa.

Det som händer om du byter tecken på A efteråt är att grafen kommer förskjutas en halv period, dvs pi.

Går det alltså att välja vilket A och k man än vill? Alltså para ihop dem hur som helst?

naytte skrev:
Går det alltså att välja vilket A och k man än vill? Alltså para ihop dem hur som helst?

Jajamen. Vanligast är som Yngve säger att välja positiva A och k och sedan bestämma värdet på b.

Okej. Men det blir väl lite konstigt då, säg att man t.ex. väljer ett negativt värde på A och på k så att funktionen kan skrivas:

$y = - 2.5 \sin (- x + b) + 1$

och vi vill bestämma b. Då kan vi använda oss av att vi känner till den första maximipunkten på grafen efter x=0, alltså när argumentet blir $\frac{3\pi}{2}$ :

$- \frac{5 π}{6} + b = \frac{3 π}{2} b = \frac{9 π}{6} + \frac{5 π}{6} = \frac{14 π}{6}$

Det var inget, det funkar ju...

Hur kommer det sig att man kan välja tecken på variablerna helt fritt?

För att förstå hur det funkar måste vi kika på vilka variabler som påverkar varandra.
Vi kan sammanfatta det såhär:

d är entydigt utifrån grafen, går inte att variera.
A kan vara positivt eller negativt. Valet av tecken kommer enbart påverka b, ej k eller d
k kan vara positivt eller negativt. Valet av tecken kommer enbart påverka b, ej A eller d
Valet av Sinus/Cosinus kommer enbart påverka b, ej A, k eller d.
b är entydigt utifrån våra tidigare val.

Testa att rita grafen i t.ex Desmos. Skriv upp det på allmänn form, sätt reglage på variablerna och variera dem för att se hur grafen förändras.

Svara

Visa senaste svar