bestämma temperatur, differentialekvationer

Derivatan av en funktion ger en ny funktion som beskriver hur den ursprungliga funktionen förändras. Om du t.ex. har en funktion som beskriver hur avståndet förändras med tiden, så får du funktionen för samma objekts hastighet om du tar derivatan av avståndsfunktionen. Om du igen tar derivatan av hastighetsfunktionen får du en funktion som beskriver hur hastigheten förändras med tiden – du får alltså funktionen för objektets acceleration.

Funktionen för äggets temperaturhöjningshastighet är följande:

$Ä\text{'}\left(t\right)=k\left(V\left(t\right)-Ä\left(t\right)\right), V\left(t\right)>Ä\left(t\right)$

Dessutom vet du funktionen för vattnets temperatur V(t), och kan sätta i denna i ekvationen ovan.

$Ä\text{'}\left(t\right)=0,8(100-50e^{-0,2t}-Ä(t\left)\right)$

Nu har du en differentialekvation som du kan lösa.

Tack för svaret!

men jag kommer fram till 

Ä'+0,8Ä=80-40e^-0,2t

hur löser jag detta?

om högerledet vore endast konstanter och inte inehöll t, skulle jag kunna använda mig av yh+yp men i detta fall är den inte så.

Din differentialekvation är en första gradens ODE och kan skrivas

     $y\text{'}\left(t\right)+\frac{4}{5}y\left(t\right)=80-32e^{-\frac{t}{5}}.$

med den integrerande faktorn $g\left(x\right)=e^{\int \frac{4}{5}dt}=e^{\frac{4}{5}t}.$ Multiplicera nu båda led med $g\left(x\right):$

     $y\text{'}\left(t\right)·e^{\frac{4}{5}t}+\frac{1}{5}y\left(t\right)·4e^{\frac{4}{5}t}=-e^{\frac{4t}{5}}\left(32e^{-\frac{t}{5}}-80\right).$

Kan du fortsätta?